第四讲因式分解
【考点总汇】
一、因式分解的方法
1.提公因式法：。
2.运用公式法：平方差公式：；
3.完全平方公式：。
微拨炉：
1.当因式分解时，先观察多项式各项是否有公因式，若有公因式，则先提公因式。 2.若多项式各项没有公因式或提公因式后，再看项数，若有两项，考虑用平方差公式分解，若有三项，则考虑运用完全平方公式分解。 二、因式分解的步骤
1.若多项式的各项有公因式，则应先，首项是负的，可将负号一并提取。
2.若多项式的各项没有公因式，则可以考虑用法来分解因式。
3.检查因式分解是否彻底。
微拨炉：
对因式分解结果的五点要求 1.若多项式的第一项带有负号，则应先提取负号； 2.因式分解的结果若是单项式与多项式的乘积，则把单项式写在前面； 3.因式分解的结果不能含有中括号； 4.因式分解的结果中若有相同的因式，则应写成乘方的形式； 5.因式分解必须进行到不能再分解为止。
高频考点1、因式分解的概念及提取公因式
【范例】因式分解：。
得分要领：
确定公因式的三个步骤
1.找多项式各项系数的最大公约数。
2.找多项式各项中都含有的字母或因式。
3.都含有的字母（或因式）的指数取次数最低的。
【考题回放】
1.下面分解因式正确的是（）
A.B.
C.D.
2.因式分解：。
3.分解因式：。
4.分解因式：。
5.因式分解：。
高频考点2、运用公式法因式分解
【范例】在下列四个多项式中，能因式分解的是（）
A.B.C.D.
得分要领：
1.当分解因式时，先提公因式，再根据项数确定是否能运用公式。
2.分解因式需分解彻底。
3.若第一项系数为负数，则分解因式应先提取“一”号。
【考题回放】
1.下面的多项式中，能因式分解的是（）
A.B.C.D.
2.将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（）
A.B.C.D.
3.因式分解：。
4.因式分解：。
5.因式分解：。
6.因式分解：。
7.把多项式因式分解，最后结果为。
8.因式分解：。
高频考点3、因式分解的应用
【范例】若，，则的值是。
得分要领：
1.利用因式分解求代数式的值是将代数式整体或部分进行因式分解，然后将已知代数式的值整体代入，求出所求代数式的值。
2.整体代入时要注意符号和代数式前面的系数。
【考题回放】
1.若，则。
2.若已知，，则。
3.若，则代数式的值等于。
4.若一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，
则在图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是。
（用含的代数式表示）
【实战演练】
1.把代数式分解因式，结果正确的是（）
A.B.
C.D.
2.因式分解的结果是（）
A.B.
C.D.
3.若实数满足，，则的值是（）
A.－2B.2C.－50D.50
4.若是完全平方式，则的值是（）
A.B.C.D.
5.因式分解：。
6.因式分解：。
7.因式分解：。
8.因式分解：。
9.观察下列等式：
①②
③④
……则第（是正整数）个等式为。
10.若是关于的完全平方式，则。
11.若已知，则的值为。
12.利用因式分解说明：能被210整除。
13.已知，求代数式的值。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A.B.
C.D.
2.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A.B.C.D.
3.下列因式分解正确的是（）
A.B.
C.D.
4.下列因式分解中，正确的个数为（）
①；
②；
③。
A.3个B.2个C.1个D.0个
二、填空题（每小题3分，共9分）
5.将多项式因式分解的结果是。
6.如图，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，若将图
1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部
分的面积，你能得到的公式是。
7.已知可分解因式为，其中均为整数，则。
三、解答题（共29分）
8.（6分）分解因式：。
9.（8分）已知，。求下列各式的值：
（1）。（2）。
10.（7分）我们知道对于二次三项式这样的完全平方式可以用公式法将它们分解成的形式，但是，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式，可以采用如下方法：
①像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法的关键是。
②用上述方法把分解因式。
【培优训练】
11.（8分）设，，…，（为大于0的自然数）。
（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论。
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”。试找出，，…，，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数（不必说明理由）。
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