第6讲二次根式
【考点总汇】
一、二次根式的概念
二次根式：形如的式子。
微拨炉：
1.判断二次根式需满足两个条件 （1）具有的形式。（2）满足条件。 2.，，也是二次根式。 二、二次根式的性质
1.当时，。
2.。
3.｜｜
4.﹒，，。
5.，。
微拨炉：
1.具有双重非负性，即，。 2.，而是，故当平方在根号内时，去掉根号，先加绝对值号，再根据绝对值的意义化简，如。 三、二次根式的运算
1.最简二次根式
最简二次根式要同时具备下列两个条件：
（1）被开方数中不含。
（2）被开方数中不含的因数或因式。
2.二次根式的乘除
（1），。（2），。
3.二次根式的加减：先将二次根式化成，再将相同的二次根式合并。
微拨炉：
凡是被开方数中含有分母（包括小数），或被开方数中有的因式的指数大于或等于2的二次根式均不是最简二次根式。
高频考点1、二次根式有意义的条件
【范例】若在实数范围内有意义，则的取值范围是。
得分要领：
1.若二次根式有意义，则需被开方数为非负数。
2.若二次根式出现在分母中，则需被开方数为正数。
3.若所得式子既含二次根式又含分母，则需被开方数为非负数，且分母不为0，要综合考虑字母的取值，如有意思的条件为，而不是，且。
【考题回放】
1.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
2.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
3.若，则。
4.已知，为实数，且，则。
高频考点2、二次根式的性质及化简
【范例】若，则的值是（）
A.－1B.0C.1D.2
得分要领：
1.中的可以取任何实数，而中的必须取非负数，只有当取非负数时，。
2.当时，；当时，，如。
3.都具有非负性。
【考题回放】
1.已知实数，满足，则的值为（）
A.－2B.2C.4D.－4
2.下列各式与是同类二次根式的是（）
A.B.C.D.
3.计算的结果是（）
A.－3B.3C.－9D.9
4.下列二次根式中，不能与合并的是（）
A.B.C.D.
高频考点3、二次根式的运算
【范例】计算：。
得分要领：
1.二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同。
2.二次根式相乘时要有一定的灵活性。例如，计算时，如果不是最简二次根式，也可以先把它们化成最简二次根式，然后再相乘，这样简单一些。
3.二次根式的乘法运算和除法运算中，常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化成最简二次根式。
【考题回放】
1.下列计算错误的是（）
A.B.
C.D.
2.如果，，那么下面各式：①，②，③，其中正确的是（）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
3.已知，，则。
4.先化简，再求值：，其中。
5.先化简，再求值：，其中。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】化简：。
解：原式………………①
………………②
………………③
【规避策略】
当二次根式有系数且能化简时，应先将二次根式化简再与其前面的系数相乘。
【实战演练】
1.下列计算正确的是（）
A.B.
C.D.
2.若，则的值为（）
A.1B.－1C.7D.－7
3.在函数中，自变量的取值范围是（）
A.B.C.D.
4.下列计算正确的是（）
A.B.
C.D.
5.若，则的取值范围是。
6.若在实数范围内有意义，则的取值范围是。
7.当时，代数式有意义。
8.已知最简二次根式与能合并，则。
9.计算：－－4+＝。
10.计算：÷－×+。
11.计算：。
12.计算：×+。
13.计算：－×+÷。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.下列二次根式是最简二次根式的是（）
A.B.C.D.
2.要使式子有意义，则的取值范围是（）
A.B.C.且D.且
3.下列计算正确的是（）
A.B.
C.D.
4.计算的结果是（）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共12分）
5.已知：最简二次根式与可以合并，则。
6.化简。
7.已知，则。
8.对于任意实数，定义一种运算＆如下：＆,如3＆2
。那么＆。
三、解答题（共26分）
9.（6分）先化简，再求值：，其中，。
10.（8分）观察下列运算：
a.由，得；
b.由，得；
c.由，得；…
①通过观察你得出什么规律：用含的式子表示出来。
②利用①中你发现的规律计算：
…。
【培优训练】
11.（12分）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号的式子的平方，如，善于思考的小明进行了如下探索设，（其中均为正整数），则有，∴，。
这样，小明找到了把部分的式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决问题：
（1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示得，，。
（2）利用所探索的结论，找一组正整数填空
。
（3）若用均为正整数，求的值。
9
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