第11讲函数初步
【考点总汇】
一、平面直角坐标系
各象限点的坐标的符号特征
第一象限（+，+）；第二象限；第三象限（－，－）；第四象限。
微拨炉：
1.点在数轴上，则纵坐标为零；点在纵轴上，则横坐标为零。 2.如果点的横坐标与它的纵坐标的绝对值相等，那么点在象限夹角的平分线上。 3.点的纵坐标相同，则点的连线平行于轴；点的横坐标相同，则点的连线平行于轴。 二、函数的定义
1.常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做，数值变化的量叫做。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有确定的值与其对应，那么就说是自变量，是的函数。
3.如果当时，，那么叫做当自变量的值为时的。
微拨炉：
1.理解函数时要注意两点：①在一个变化过程中只有两个变量；②变量有唯一的值与的值对应。 2.从两方面考虑自变量的取值范围：一是函数关系式的意义；二是实际问题的意义。 三、函数的图象
1.列表：根据解析式列出自变量与函数之间的对应值表。
2.描点：每组对应值就是一个点的，在平面直角坐标系中描出这些点。
3.连线：用光滑曲线（或直线）连接这些点，这些点组成的图形就是这个函数的图象。
微拨炉：
1.图象上每个点的横坐标、纵坐标一定是这个函数的自变量、函数值的一组值。 2.以自变量的一个值和函数的对应值为坐标的点必定在这个函数的图象上。 3.易忘记自变量的实际意义，忽略自变量的取值范围。
高频考点1、平面直角坐标系及点的坐标变化
【范例】点1，－2关于轴对称的点的坐标是（）
A.（1，－2）B.（－1，2）C.（－1，－2）D.（1，2）
得分要领：
1.二、四象限内点的坐标的两个特点
（1）横、纵坐标符号相反。
（2）二象限内每个点的横坐标小于纵坐标，四象限内每个点的横坐标大于纵坐标。
2.关于坐标轴（或原点）对称的点的坐标
（1）关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数。
（2）关于轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数。
（3）关于原点对称，则横坐标、纵坐标均互为相反数。
【考题回放】
1.将点2，1向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标是（）
A.（2，3）B.（2，－1）C.（4，1）D.（0，1）
2.在平面直角坐标系中，点－2，3关于原点对称的点的坐标为（）
A.（2，－3）B.（2，3）C.（3，－2）D.（－2，－3）
3.如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标
为（，），则点的坐标为（）
A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）
4.若点满足，则点所在象限是（）
A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限D.不能确定
5.在平面直角坐标系中，点（－4，4）在第象限。
高频考点2、确定函数自变量的取值范围
【范例】函数中的自变量的取值范围是（）
A.B.C.D.且
得分要领：
1.在求自变量的取值范围时，分以下几种情况：①如果含有分式，要考虑分母不为零；②如果含有二次根式，则要考虑被开方数非负；③如果只含有整式，可以取任意实数；④如果是实际问题，要考虑实际情况对取值范围的限制。
2.对于既含分母又含二次根式的函数自变量的取值范围，要注意同时满足分式中分母条件的限制和二次根式中被开方数的取值范围。
【考题回放】
1.在函数中，自变量的取值范围是（）
A.B.C.D.
2.函数中，自变量的取值范围是。
3.函数中自变量的取值范围是。
4.使函数有意义的自变量的取值范围是。
高频考点3、用函数描述事物的变化规律
【范例】如图，矩形中，，，动点从点出发，
按→→的方向在和上移动，记，点到直线的
距离为，则关于的函数图象大致是（）
A. B. C. D.
得分要领：
解答图象中的动点问题的两种思路：
1.准确把握图形的变与不变。
2.把动点问题进行分类讨论，找出相应部分的函数解析式与所给选项比较。
【考题回放】
1.汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程（千米）与行驶的时间（小时）的函数关系的大致图象是（）
C
2.2014年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子文稿。接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直到录入完成。设从录入文稿开始所经过的时间为，录入字数为，下面能反映与的函数关系的大致图象是（）
C
3.夏天到了，某小区准备开放游泳池，物业管理处安排一名清洁工对一个无水的游泳池进行清洗。该工人先打开一个进水管，蓄了少量水后关闭进水管并立即进行清洗，一段时间后，再同时打开两个出水管将池内的水放完，随后将两个出水管关闭，并同时打开两个进水管将水蓄满。已知每个进水管的进水速度与每个出水管的出水速度相同，从工人最先打开一个进水管开始，所用的时间为，泳池池内的蓄水量为，则下列各图中能反映与的函数关系的大致图象是（）
C
4.某厂今年一月份新产品的研发资金为元，以后每月新产品的研发资金与上月相比都增长，则该厂今年三月份新产品的研发资金（元）关于的函数关系式为。
高频考点4、从函数图象获取信息，解决问题
【范例】小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。如图描述了小明在散步过程中离家的距离（米）与散步所用的时间（分）之间的函数关系。根据图象，下列信息错误的是（）
A.小明看报用时8分钟
B.公共阅报栏距小明家200米
C.小明离家最远的距离为400米
D.小明从出发到回家共用时16分钟
得分要领：
从函数图象获取信息的三个关键点：
1.分清图象的横纵坐标的意义及自变量的取值范围。
2.若是分段函数要分段讨论。
3.观察特殊点、特殊线：拐点是判断函数图象的倾斜程度或增减性发生变化的关键；平行线；函数值随自变量的增大而保持不变。
【考题回放】
1.某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，
再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费。下列结论：
①如图描述的是方式1的收费方法；
②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；
③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；
④若方式1比方式2的通讯费多10元则方式1比方式2的通话时间多100分钟。其中正确的是（）
A.只有①②B.只有③④C.只有①②③D.①②③④
2.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到
终点的人原地休息。已知甲先出发2秒。在跑步过程中，甲、乙两人的距离
（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③。其中正确的是（）
A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③
3.小明放学后步行回家，他离家的路程（米）与步行时间（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】在平面直角坐标系中，已知点－4，2，－2，－2，以原点为位似中心，相似比为，把△缩小，则点的对应点的坐标是（）
A.（－2，1）B.（－8，4）
C.（－8，4）或（8，－4）D.（－2，1）或（2，－1）
解：选A∵把△缩小，相似比为
∴点的对应点的横纵坐标分别是：
即点的坐标是（－2，1）
【规避策略】
注意：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或。
【实战演练】
1.在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
2.函数的自变量的取值范围是（）
A.且B.C.D.且
3.均匀地向一个瓶子注水，最后把瓶子注满。在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是下列的（）
4.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，候车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校。如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（）
A.修车时间为15minB.学校离家的距离为2000m
C.到达学校时共用时间20minD.自行车发生故障时离家距1000m
5.如图，正方形的边长为1，分别是边和上的动点（不与
正方形的顶点重合），不管怎样运动，始终保持。设，，则是的函数，函数关系式是（）
A.B.C.D.
6.已知点－1，－2和点1，3，将点向上平移个单位长度后得到的点与点关于轴对称。
7.函数的自变量的取值范围是。
【限时小测】建议用时30分钟。总分50分
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.在平面直角坐标系中，点－20，与点，13关于原点对称，则的值为（）
A.33B.－33C.－7D.7
2.函数中自变量的取值范围是（）
A.B.C.且D.且
3.一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100km/h，特快车的速度为150km/h，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则折线大致表示两车之间的距离（km）与快车行驶时间（h）之间的函数图象是（）
4.如图1，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止，设点运动的路程为，△的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（）
A.点处B.点处C.点处D.点处
二、填空题（每小题4分，共12分）
5.如图，正方形的边长为4，点的坐标为（－1，1），平行于
轴，则点的坐标为。
6.当时，函数的值为零。
7.如图1，Rt△中，，，，将△放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上。将△按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2013次后，点的坐标为。
三、解答题（共26分）
8.（12分）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，点关于原点的对称点为点。
（1）若点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出
△。设与轴的交点为，则。
（2）若点的坐标为，则△的形状为。
【培优训练】
9.（14分）规律是数学研究的重要内容之一。初中数学中研究的规律主要有一些特定的规律、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面。请你解决以下与数的表示和运算相关的问题。
（1）写出奇数用整数表示的式子。
（2）写出有理数用整数和整数表示的式子。
（3）函数的研究中，应关注随变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）。
下面对函数的某种数值变化规律进行初步研究；
0 1 2 3 4 5 … 0 1 4 9 16 25 … 1 3 5 7 9 11 … 由表看出，当的取值从0开始每增加1个单位时，的值依次增加1，3，5，…请回答：
当的取值从0开始每增加个单位时，的值变化规律是什么？
当的取值从0开始每增加个单位时，的值变化规律是什么？
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