第16讲三角形与多边形
【考点总汇】
一、三角形与多边形的性质
1.三角形三边之间的关系：三角形任意两边的和第三边，任意两边的差第三边。
2.三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于。
3.三角形的外角定理及推论：
（1）三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和。
（2）三角形的一个外有与它不相邻的任何一个内角。
4.多边形的内角和与外角和定理：
（1）边形内角和等于。（2）多边形的外角和等于。
微拨炉：
1.一个三角形中至少有两个内角是锐角，至多有一个直角或一个钝角。 2.三角形的外角和指的是三角形的每个顶点处各取一个外角的和。所有多边形的外角和都相等，都等于360。 3.正多边形必须同时满足“各个角都相等”和“各条边都相等”两个条件，缺一不可。 二、命题、定理
1.对某一事件作出判断的语句（或式子）叫做命题，命题由和两部分组成。
的命题是真命题，的命题是假命题。
2.互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题。
3.定理：从或其他真命题出发，用推理方法判断为的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
4.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则这两个定理为定理。
微拨炉：
任何一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理。
高频考点1、三角形三边的关系
【范例】（1）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）
A.1，2，6B.2，2，4C.1，2，3D.2，3，4
（2）一个三角形的三条边长分别为2，3，，则的值可以为。（只需填一个整数）
得分要领：
三角形三边关系主要能解决以下问题：
1.判断三条线段能否组成三角形
在已知的三条线段中，如果较短的两条线段之和大于最长的第三条线段，那么这三条线段能组成一个三角形，否则不能组成一个三角形。
2.确定第三边的取值范围
设三角形的两边长为，则第三边长必须满足条件：。由此便可确定第三边长的范围。
【考题回放】
1.已知三角形的两边长分别是3和8，则该三角形第三边的长可能是（）
A.5B.10C.11D.12
2.下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）
A.1，2，4B.4，5，9C.4，6，8D.5，5，11
3.有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
4.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm。
高频考点2、三角形内角和定理及其推论
【范例】如图，在△中，，，平分，
则的度数是（）
A.85B.80C.75D.70
得分要领：
三角形内角和定理，是已知三角形两角求第三个角的重要依据。
【考题回放】
1.如图，∥，，，
则的大小为（）
A.17B.62C.63D.73
2.如图所示，将含有30角的三角板的直角顶点放在相互平行的两
条直线其中一条上，若，则的度数为（）
A.10B.20C.25D.30
3.如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（）
A.B.
C.D.
高频考点3、多边形的内角和与外角和
【范例】（1）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，
得到一个内角和为2340的新多边形，则原多边形的边数为（）
A.13B.14C.15D.16
（2）若一个正多边形的一个内角等于135，那么这个多边形是正边形。
得分要领：
应用多边形的内角和与外角和定理，主要解决的问题：
1.已知边数求内角和。
2.已知内角和求边数。
3.已知边数，求正多边形的每一个内角或外角。
【考题回放】
1.五边形的内角和是（）
A.180B.360C.540D.600
2.内角和与外角和相等的多边形的边数是。
3.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180，则它的边数是。
高频考点4、判断命题的真假
【范例】下列命题中，假命题是（）
A.对顶角相等B.三角形两边的和小于第三边
C.菱形的四条边都相等D.多边形的外角和等于360
得分要领：
1.此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题。判断命题真假的前提是要熟悉有关定义和定理。
2.分析一个命题是否为真命题，需要分析从题设出发是否能推理论证推出结论。判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可。
【考题回放】
1.下列命题是真命题的是（）
A.无限小数是无理数
B.相反数等于它本身的数是0和1
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D.等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
2.命题“相等的角是对顶角”是命题（填“真”或“假”）。
【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边
【例题】一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是为（）
A.17B.15C.13D.13或17
解：选D。当等腰三角形的腰为7，底为3时，
它的周长为：7+7+3＝17………………①
当等腰三角形的腰为3，底为7时，它的周长
为：3+3+7＝13…………………………②
那它的周长为13或17…………………③
【规避策略】
1.分类讨论。在没有明确给出的边长是底边还是腰时，需要分两种情况讨论。
2.合理取舍。要结合三角形三边关系定理进行判断，对不能组成三角形的情况应舍去。
【实战演练】
1.已知一个多边形的内角和等于900，则这个多边形的边数是（）
A.6B.7C.8D.9
2.已知三角形三边长分别为2，，13，若为正整数，则这样的三角形个数为（）
A.2B.3C.5D.13
3.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
4.已知，如图，与相交于点，∥，如果
，，那么为（）
A.40B.50
C.60D.70
5.如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，（）
A.225B.235
C.270D.与虚线的位置有关
6.将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中的度数为（）
A.75B.95C.105D.120
7.用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转22，则三角板的斜边与射线的夹角的度数为。
第7题第8题第9题
8.如图，，，，的度数是。
9.如图，过正五边形的顶点作直线∥，则。
10.如图，小陈从点出发，前进5米后向右转20，再前进5米后又向右转20，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点时一共走了。
第10题第11题
11.将一副直角三角板如图摆放，点在上，经过点。已知，。，，则。
【限时小测】建议用时30分钟。总分40分
一、选择题（每小题3分，共15分）
1.在等腰△中，，其周长为20cm，则边的取值范围是（）
A.1cm4cmB.5cm10cm
C.4cm8cmD.4cm10cm
2.如图，是△的有平分线，于点，若，，的度数是（）
A.10B.12C.15D.18
3.为估计池塘两岸间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得m，m，那么间的距离不可能是（）
A.5mB.15mC.20mD.28m
4.如图，△中，为边上的中线，为边上的中线，
为边上的中线，则下列结论错误的是（）
A.B.
C.D.
5.如图，已知直线∥∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形的四个顶点在平行直线上，且，，则四边形的面积是（）
A.B.C.D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
6.如图所示，若去掉四边形一个50的角得到一个五边形，则。
7.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边长为。
8.如图，三条直线两两相交，若，，则的度数是。
三、解答题（共23分）
9.（10分）一个多边形的内角和与某一个外角度数的总和为1350，求这个多边形的边数。
【培优训练】
10.（13分）如图，在△中，三角形的外角和的平分线交于点。
（1）若，求的度数。
（2）将（1）中的“”去掉，探索与之间有什么关系，并说明理由。
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