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大家好，我是宝刀君，很高兴我们又见面了~ 在上一节：非线性系统分析，描述函数法中的等效线性环节、等效非线性环节，怎么求？我们讲了描述函数法的概念及其解题处理思路，这一节，我们讲下相平面法对应的解题思路。 1 相平面和相轨迹的概念 相平面就是一种坐标系，只不过纵轴 / 垂直坐标系是横轴变量的导数，常见的是c-c'，或者e-e'。 相轨迹就是随着自变量变化时，它的导数该如何变？ 变化曲线路径形成一条条轨迹，那这个轨迹的方向该如何定呢？ 联想一下数学中的导数的概念，导数大于0时，随着时间增加，x增加，相轨迹向右移动，导数小于0时，随着时间推移，x减少，相轨迹向左移动。 因此，相轨迹的运动方向为： 上半平面中，相迹点沿相轨迹向x轴正方向移动，上半部分相轨迹箭头向右； 同理，下半平面相轨迹箭头向左，也就是说，相迹点在相轨迹上总是按顺时针方向运动的。 上图中注意： 1、穿越 x轴/横轴 时，是垂直的方向； 2、奇点处的特征是：x的一阶导数和二阶导数等于0。因此求奇点时，可以令一阶导数和二阶导数等于0，从而求得奇点。 2 二阶系统的相轨迹 二阶系统中，根据极点的分布，分成了6种情况，要想后续正确绘制出相轨迹，这6个图是必须要记忆下来的。 这6个图很好记，一个中心点，一个鞍点，剩下就是两对焦点、节点，图形也很好记。 3 相轨迹的绘制 许多非线性控制系统所含有的非线性特性是分段线性的，或者可以用分断线性特性来近似。 用相平面法分析这类系统时，一般采用分区-衔接的方法。 首先，根据非线性特性的线性分段情况，用几条分界线（开关线）把相平面分成几个线性区域，在各线性区域内，分别用线性微分方程来描述。 其次，分别绘出各线性区域的相平面图。 最后，将相邻区间的相轨迹衔接成连续的曲线，即可获得相应的相平面图。 举个例子吧： 如上图，画e-e'图，这是导数关系，而导数关系是在线性部分产生的，非线性部分负责产生不同分区，连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程。 因此，寻找e的关系，得借助c、比较点处的关系式来寻找。 运动方程定下后，下面就是写出特征方程，根据极点属于哪种类型、哪种性质，从而绘出不同区域的相轨迹图。 比如2区对应的奇点是中心点，以2为中心画圆，不同区域画不同的图形，然后在开关线处连接起来。 这个题还需要注意的是：有些题目，它不仅会问你绘制相轨迹，还会让你给出c(t)响应图，本题最后也在图中画出了图形结果，这一点需要大家留意并训练。 再举一例： 这个题需要注意的是它的开关线方程的确立，对一个量乘以s，相当于是对它进行一次求导，这就是为何上图中非线性部分u的分段表达式会这样写的原因。 各个区内绘制它的相轨迹，从本题可以看出，开关线方程不一定垂直或者平行于横轴呀！ 4 极限环
极限环概念很好理解，就是一种周期运动，也就是描述函数法中常说的“自振”。 5 总结 总结一下，绘制相轨迹时，步骤一般如下： 1、根据题目中所求，分别从线性部分和非线性部分寻找函数关系式。其中，线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区，把这两部分构成在一起，形成不同分区内的运动方程； 2、根据不同分区，确立开关线方程； 3、在不同分区内，根据特征方程确立的极点属性，绘制这个分区内的相轨迹； 4、如果需要绘制输出序列响应时，返回原图确立关系式，绘制图像。
建议你看 —— END —— |
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