中考数学“压轴题”专题讲座
——陈迹
“压轴”是戏曲术语，是指戏班挂头牌的演员来演主要节目，一般是放在所有节目中的靠后位置来吸引观众。在考试中我们所说的压轴题就是从这里引申过来的。
试题功能：集中体现知识的综合性和方法的综合性，以此来区分学生的综合能力.
试题方向：一般都是通过函数与动态几何的方面来命制，主要考查分析能力、探究能力，如探究问题的存在性、多样性、条件性、最优性、规律性等.
试题特点：知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活.
解法概述：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘（小已知变多条件），化动为静多画图（动态把作静态看，必要时也可特殊静态看），分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨。
应试要点：
一是对自身的数学水平做一个完整的全面的认识。
根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
二是要确定试题的结构和“关系”
压轴题要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的（三问之间“独立”型），还是“递进”的（做对第一问后才能做第二问或第三问），这一点非常重要。
三是解数学压轴题做一问是一问
第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问，甚至直接可用第一小问的结论来解答第二问（当第一问是结论性的），特别提醒：一般情况下，第二、三问要用第一问结论，所以务必要保证第一问的准确性）.过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程的方向要大概正确，但是不要明显说废话，计算中尽量回避非必求成分.
四是当思维受阻时，要及时调整思路和方法，千万不能“一根筋”！并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系.
切记:在下面举出的典型题目中，同学们一要先尽最大潜力思考后，再听讲！
1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线经过点A、B，且18ac＝0．（1）求抛物线的解析式（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动．移动开始后第t秒时，设△PBQ的面积为S．①试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．设抛物线的解析式为由题意知点A（0，12），∴c＝－12
又∵18a＋c＝0，∴a＝
∵AB∥OC，且AB＝6
∴抛物线的对称轴是x＝－＝3，∴b＝－4
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－12
（2）①S＝·2t·(6－t)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9（0＜t＜6）
②当t＝3时，S取得最大值为9
此时点P的坐标（3，12），点Q坐标（6，6）若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则有以下三种情况：
（Ⅰ）当点R在BQ左侧，且在PB下方时，点R的坐标（3，－18）
将（3，－18）代入抛物线的解析式中，满足解析式
所以存在点R，点R的坐标为（3，－18）
（Ⅱ）当点R在BQ左侧，且在PB上方时，点R的坐标（3，－6）
将（3，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件
（Ⅲ）当点R在BQ右侧，且在PB上方时，点R的坐标（9，－6）
将（9，－6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件
综上所述，点R坐标为（3，－18）如图所示，抛物线x＋c经过原点O和A（4，2），与x轴交于点C，点M、N同时从原点O出发，点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）在点M、N运动过程中，①若线段MN与OA交于点G，试判断MN与OA的位置关系，并说明理由；②若线段MN与抛物线相交于点P，探索：是否存在某一时刻t，使得以O、P、A、C为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．（1）依题意，得解得
∴抛物线的解析式为x2＋x
令0，则有x2＋x＝0
解得x10，x26，∴点C坐标为（6，0）
（2）①MN⊥OA，理由如下：过点A作AB⊥x轴于点B，则OB4，AB2
由已知可得：＝，∴Rt△MON∽Rt△OBA
∴∠AOB∠NMO
∵∠NMO＋∠MNO＝90°，∴∠AOB＋∠MNO＝90°
∴∠OGN＝90°，∴MN⊥OA
②存在设点P的坐标为（x，y）依题意可得当点P是点A关于抛物线对称轴的对称点时四边形APOC为等腰梯形易知点P坐标为（2，2）点PPD⊥x轴点Rt△PDN∽Rt△MON，得＝＝
∴DN＝1，∴ON＝OD＋DN＝2＋1＝3
∴t＝＝3∴当3秒时，以O、P、A、C为顶点的四边形是等腰梯形如图，甲、乙两人分别从A1，、B6，0两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行，th后，甲到达M点，乙到达N点．请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．当t为何值时，△OMN∽△OBA？甲、乙两人之间的距离为MN的长，设sMN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．解：A（1，，OA＝2，∠AOB60°
假设MN∥AB，则有＝
∵OM＝2－4t，ON6－4t，∴＝
解得t0
即在甲、乙两人到达O点前，只有当t0时，△OMN∽△OABMN与AB不可能平行
甲达到O点时间为t＝，乙达到O点时间为t＝
∴甲先到达O点，t＝或t时，O、M、N三点不能三角形①当t＜时，△OMN∽△OBA，则有
解得t2＞，△OMN与△OBA不相似
②当＜t＜时，∠MON＞∠B，显然△OMN△OBA不相似
③当t＞时，，解得t2＞当t2时，△OMN∽△OBA①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H在Rt△MOH中，∠AOB＝60°
MH＝OM·sin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)
∴NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t
∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H在Rt△MNH中，MH(4t－2)＝(2t－1)
NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t
∴s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
③当t＞时，同理可得s(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28
综上所述，s16t2－32t＋28
∵s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12
∴当t1时，s有最小值为12甲、乙两人距离最小值为2km
与在二次函数图像上，
∴，解得，
∴二次函数解析式为.
（2）过作轴于点，由（1）得，则在中，，又在中，，
∵，∴.
（3）由与，可得直线的解析式为，
设，则，
∴.∴.
当，解得（舍去），∴.
当，解得（舍去），∴.
综上所述，存在满足条件的点，它们是与.
5.如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
解：（1）设抛物线解析式为，把代入得．
，顶点
（2）假设满足条件的点存在，依题意设，
由求得直线的解析式为，
它与轴的夹角为，设的中垂线交于，则．
则，点到的距离为．
又．．
平方并整理得：．
存在满足条件的点，的坐标为．（3）由上求得．
①若抛物线向上平移，可设解析式为．
当时，．
当时，．或．
．
②若抛物线向下移，可设解析式为．
由，
有．，．
向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移个单位长．
如图，在矩形ABCO中，AO3，tan∠ACB．以O为坐标原点，OC为轴，OA为轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动．设运动时间为秒．（1）求直线AC的解析式；（2）用含的代数式表示点D的坐标；（3）当为何值时，△ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式．解：（1）AO＝3，tan∠ACB＝
∴CO＝AB＝4，A（0，3），B（4，3），（4，）直线AC的解析式解得k＝－，b＝3
∴y＝－x＋3
（2）AO＝3，，AC＝5
过点D作DF⊥AO，则△A∽△AOC
∴＝＝，∴＝＝
∴AF＝t，FD＝t
∴D（，3t）（3）°，则点D与点A重合，点E与点C重合
此时t＝0
②若∠ODE＝90°，过点D作D⊥OC于G
则△ODG∽△DEG，∴＝
∴＝，解得t＝或t＝1
③若∠OED＝90°，则△∽△AOC
∴＝，∴＝，解得t＝
综上，当或t＝1或t＝时，△ODE为直角三角形（4）Rt△ODE的三个顶点对称轴平行于轴°
选择（，），（，）抛物线过O（0，0），设抛物线的解析式为将点D，E坐标代入，求得，
∴抛物线的解析式为x2＋x
7.如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，于轴于、两点（点在点的左边）.
（1）求抛物线的解析式及、两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在一点，
使的值最小？若存在，求的最
小值；若不存在，请说明理由；
（3）在以为直径的⊙中，与⊙相切于点
,交轴于,求直线的解析式.
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为
∵抛物线经过点
∴,解得
∴，即
当时，，解得，
∴,
(2)存在
由（1）为，
因为、两点关于对称，连接交于点,则,所以，的值最小.
∵，，∴,
∴
∴
∴的最小值为.
（3）连接
∵是⊙的切线
∴⊥，∠
∴∠∠
由题意，得,∠∠
∴△≌△
∴,
设，则
在△中,.
∴∴，∴
设直线的解析式为，
∵直线过，两点.则解得
∴直线的解析式为.
8．如图直线和直线交于点两直线分别交轴于点和点，一平行于轴的直线从点出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为，且分别交、于点，以为一边向左侧作正方形．（1）求和的值；当为何值时，正方形的边刚好在轴上？（3）当直线从点出发开始运动的同时，点也同时在线段上由点向点以每秒4个单位的速度运动，问点从进入正方形到离开正方形持续的时间有多长？（1）把代入得代入得
（2）轴∵正方形，∴正方形的边刚好在轴上∴t＝
（3）∵直线交轴于点
∵＜，∴点M进入正方形
当点M和点Q的纵坐标相等时，5－4t＝2－2t，∴t＝
∴点从进入正方形到离开正方形持续的时间－＝
0
A
C
Q
P
B
O
x
y
O
x
y
C
N
A
M
P
G
O
x
y
C
N
A
M
G
B
O
x
y
C
N
A
M
P
D
O
B
y
x
A
O
B
y
x
A
M
H
图1
N
O
B
y
x
A
M
H
图2
N
A
B
C
O
x
y
D
F
H
P
E
B
A
C
D
E
O
x
y
B
A
C
D
E
O
x
y
F
B
A
C
D
E
O
x
y
F
G
B
A
C
D
E
O
x
y
F
A
O
C
B
y
x
l
P
Q
D
E
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