线性代数1——矩阵的基本运算

　　简单来说，矩阵是充满数字的表格。

　　A和B是两个典型的矩阵，A有2行2列，是2×2矩阵；B有2行3列，是2×3矩阵；A中的元素可用小写字母加行列下标表示，如a_1,2 = 2, a_2,2 = 4

矩阵加减法

　　两个矩阵相加或相减，需要满足两个矩阵的列数和行数一致。

　　加法交换律：A + B = B + A

矩阵乘法

　　两个矩阵A和B相乘，需要满足A的列数等于B的行数。

 　　

　　矩阵乘法很容易出错，尤其是两个高阶矩阵相乘时。

　　 矩阵乘法不满足交换律，但仍然满足结合律和分配律：

 

单位矩阵

　　单位矩阵是一个n×n矩阵，从左到右的对角线上的元素是1，其余元素都为0。下面是三个单位矩阵：

　　如果A是n×n矩阵，I是单位矩阵，则AI= A, IA = A

　　单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数字1。

逆矩阵

　矩阵A的逆矩阵记作A^-1， A A^-1=A^-1A= I，I是单位矩阵。

　　

　　对高于2阶的矩阵求逆是一件很崩溃的事情，下面是一种求3阶矩阵的方法：

　　这种操作还是交给计算机去做吧，下面是在python中使用numpy计算逆矩阵的代码：

　《线性代数5——平面方程与矩阵》中也介绍了如何用消元法求逆矩阵。

 奇异矩阵

　　当一个矩阵没有逆矩阵的时候，称该矩阵为奇异矩阵。当且仅当一个矩阵的行列式为零时，该矩阵是奇异矩阵。

　　当ad-bc=0时|A|没有定义，A-1不存在，A是奇异矩阵。

　　如是奇异矩阵。

矩阵的转置

　　简单地说，矩阵的转置就是行列互换，用A^T表示A的转置矩阵。

 

　　转置运算公式：

 

对称矩阵

 　　如果一个矩阵转置后等于原矩阵，那么这个矩阵称为对称矩阵。由定义可知，对称矩阵一定是方阵。对称矩阵很常见，实际上，一个矩阵转置和这个矩阵的乘积就是一个对称矩阵：

 

 　　证明很简单：

 

 　　两个对称矩阵相加，仍然得到对称矩阵：