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斐波那契数列的现实存在的例子,你知道的有哪些?

2019-12-01  苏醒的贝壳

斐波那契数列是一种递归序列,序列中每一个数字都是通过将前两个数字相加而产生的。0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377, 610、987 ...黄金分割率和斐波那契数列的数学联系紧密。

斐波那契数列的发现

斐波那契数列是由一位13世纪的意大利比萨的数学家列奥纳多·斐波那契发现的,他的功绩还包括在整个欧洲大部分地区推广了印度-阿拉伯数字系统。

斐波那契的书《Liber abaci》(1202年)还解决了许多有的数学问题。这些问题之一就论及兔子的繁殖速度相关的问题:

假设整个过程中没有兔子死亡,并且雌兔总是繁殖出一对仔兔且雌雄各一。兔子可以在一个月大的时候繁殖,所以在第二个月月底,雌性仔兔可以生下另一对兔子。每个月初兔子的总数遵循以下模式:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144,依此类推。每个数字都是前两个数字的和,数字很快变大,并且序列是无限的。

直到很久以后,法国数学家爱德华·卢卡斯(Edouard Lucas)在研究自己的相似数字序列并对斐波那契的描述进行更详细的研究之后,才明白了这些数字的意义,因此他给斐波那契数列定了名。继卢卡斯的研究之后,在自然界中越来越多地观察到这些数字所描述的规律,从松果的螺旋片状结构、花椰菜上的小花到向日葵上的种子排列的方式。实际上该序列描述的东西比兔子的繁殖模式复杂得多。

自然增长模式

斐波那契数列似乎总是与自然界的增长规律有关。 这种规律适用于所有生物的生长,从单个植物细胞到蜜蜂的繁殖;大自然依靠简单的规律来构建极其复杂,而且通常很漂亮的构造,斐波那契数列正反映了这一点。直到1993年,斐波那契数才被科学证明存在于自然界中。

黄金比例

与斐波纳契数列密切相关的是黄金比例。黄金比例似乎是人类潜意识进行审美过程中识别出的一种模式,这意味着人脑中对于黄金比例非常敏感,复合黄金比例的视觉模式可以激发人类的审美情绪(某种神经和谐状态)。

黄金比例可以通过在唯一点处划分线段来得出,在该唯一点处,整条线与最大段的比例与大段与小段的比例相同。如下图所示。

上图:黄金比例(a+b):a=a:b。

黄金比率的值约为1.618034。

黄金分割率的基本原理是其数学特性。它是一个无理数,表示它不能被表示为分数(例如:0.25是1/4,0.5是1/2,依此类推)。生物生长必须允许无穷细分下去,无理数是天然的选择,而为什么选择黄金比率,则仍然是一个谜,或许是因为这种比例的规则非常简单。其它无理数则很难用一个简单的规则来表达。

以向日葵的种子为例。小种子在花的中心产生,然后向外推挤。为了有效地填充空间,每个新种子都以与前一个种子具有一定的偏移角度。随着这个过程的不断重复,自然会形成螺旋形的排列。但如果采用一个简单的分数,那么则种子最终就会成排堆积,在彼此之间留下空隙。或许正是如此植物“使用了”或者说“自然形成”了黄金比例的排列方式。

黄金数字

如果将斐波纳契数列中的每个数除以前一个数,则新数列将收敛于黄金分割率。

  • 1/1 = 1,

  • 2/1 = 2,

  • 3/2 = 1.5,

  • 5/3 = 1.66,

  • 8/5 = 1.6,

  • 13/8 = 1.625,

  • 21/13 = 1.615,

  • 34/21 = 1.619,

  • 55/34 = 1.618

斐波那契数是黄金比例的整数近似值,这是它们在自然界如此频繁出现的原因之一。例如,松果有两组螺旋鳞片,一个方向上8个,另一个方向上13个,这是两组连续的斐波那契数列。

上图:黄金矩形

自然界中的斐波那契数列

植物的叶子的排列方式就是典型的例子:植物的新叶子在茎的顶端旋转生长,各层叶片的数量就是复合斐波那契数列规律的,因为这样可以确保每片叶子接受最多的阳光并尽可能多捕获降雨。随着每片新叶的生长,其角度与下方老叶的角度有所偏移。连续叶片之间最常见的角度是137.5°,这各角度被称为黄金角度,它将完整360°度分割为1.618034的黄金比例。

据估计,所有植物中有90%的叶子排列方式涉及斐波那契数列。尤其是它们的花朵。

通常的花有三、五或八枚花瓣——全部为斐波那契数。再如万寿菊有13枚花瓣,有些紫苑有21枚花瓣;雏菊可以发现34、55甚至89枚花瓣。

上图:向日葵内部的斐波那契数列模式。

虽然某些植物花瓣的数量非常准确,但许多物种花瓣的数量却可以变化,但平均值为斐波那契数列中的数字。双斐波那契数也出现在花朵中;例如六瓣水仙花。当然,该规则也有例外,例如具有七个花瓣的岩景天。当然,花瓣会随着植物的生长而脱落,我们讨论的是实际生长的情况,不讨论脱落后的情况。


自然界中斐波那契数列的例子


鸡蛋

鸡蛋的椭圆线条的一大部分就非常契合斐波那契数列所构造的。

罗马西兰花

罗马西兰花是斐波那契的一个极其完美且明显例子。每个结节都是独立的斐波那契螺旋。

芦荟类植物

螺旋芦荟呈现出非常规则的斐波那契螺旋。从图中可以看到每片叶子如何向外螺旋旋转展开。

向日葵

这张照片中的斐波那契螺旋线稍微有些微妙,但你还是能看到螺旋线的模式(人肉智能的模式识别能力是很强的)。

石雏菊

——能识别出螺旋线吗?

松果

所有松果都呈现出斐波那契数列的规律。当从中心向外观察时,松果上凸出的松子会逐渐变大,显示出斐波那契螺旋。

豹纹变色龙

豹纹变色龙的尾巴自然卷曲成斐波那契螺旋。(脸我们就不用看了……)

美洲巨人千足虫

美国巨型千足虫。斐波那契所构成的比例被认为是阻力最小的设计。

穿山甲

斐波那契盔甲=非常安全。穿山甲能够通过形成斐波那契螺旋来保护其柔软的腹部。但这么萌这么完美的动物居然被拔掉鳞片做成中药!无语!中国的穿山甲估计已经绝种了!

蕨芽

多数蕨类植物的芽都有类似的形式,非常清新的螺旋。

蜗牛和指纹

两者都有明显的斐波那契螺旋。

人口

有人发现在非洲,大多数人口稠密的城市落在或接近螺旋线的轨迹上。(不过个人觉得这像是一个巧合。)

化石

具有斐波那契数列规律的菊石化石。您可以看到,随着壳的增大,斐波那契螺旋形成了,而且这种形状非常漂亮。

最后,一幅日本名画也被拿来做斐波那契数列模式分析。

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