|
今天来看空间基向量的一个妙用：求棱柱中的异面直线夹角和定点距离。 先从平面向量看起。平面向量基本定理告诉我们，平面中的一个向量可以往任意两个不共线的向量上唯一地分解，物理学上就是一个力可以往任意两个方向上唯一地分解。 在每一个方向上取一个向量代表这个方向，这个向量称为基向量。所有的基向量构成一组基底。分解的系数就是该向量在这一基底下的广义坐标。注意，基向量可以不必是单位向量。当基向量两两正交（垂直）且模长为1时，就是正交直角坐标系。 下面两图就分别是二维平面上和三维空间中的基底的示意图。可以看到OP向量用基向量表示的结果。 由于选定的基向量模长以及两两之间的夹角是固定的，于是基向量之间的数量积结果也是定值，利用这个特点可以方便求解棱柱中的异面直线夹角或者线段长度。 例题一 考虑到空间图形结构，如下图选择一组基底，建立广义坐标系。 如下设3个基向量，各个基向量之间的数量积是固定的。比如a向量和b向量设模长都等于1（由题意），那么a和b的数量积结合夹角，等于0.5，其他的也一样计算。最后在整道题的计算中可以达到化简的目的。 例题二：四棱柱中，∠BAD=90度，∠BAA1=∠DAA1=60度。AB=4，AD=3，AA1=5，求AC1的长度。 这题当然可以利用纯空间几何求解。但是空间向量作为一种固定模式的解题方法，具有很方便的特点，一定要掌握。同样这题可以巧妙借助基向量来求解，这里用了两种方法，详细都在图片中。
|
|
|
