博雅居308 / 高中摘录 / 黄老师聊数学(309)空间基向量的妙用

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黄老师聊数学(309)空间基向量的妙用

2019-12-01  博雅居308

今天来看空间基向量的一个妙用:求棱柱中的异面直线夹角和定点距离。

先从平面向量看起。平面向量基本定理告诉我们,平面中的一个向量可以往任意两个不共线的向量上唯一地分解,物理学上就是一个力可以往任意两个方向上唯一地分解。

在每一个方向上取一个向量代表这个方向,这个向量称为基向量。所有的基向量构成一组基底。分解的系数就是该向量在这一基底下的广义坐标。注意,基向量可以不必是单位向量。当基向量两两正交(垂直)且模长为1时,就是正交直角坐标系。

下面两图就分别是二维平面上和三维空间中的基底的示意图。可以看到OP向量用基向量表示的结果。

由于选定的基向量模长以及两两之间的夹角是固定的,于是基向量之间的数量积结果也是定值,利用这个特点可以方便求解棱柱中的异面直线夹角或者线段长度。

例题一

考虑到空间图形结构,如下图选择一组基底,建立广义坐标系。

如下设3个基向量,各个基向量之间的数量积是固定的。比如a向量和b向量设模长都等于1(由题意),那么a和b的数量积结合夹角,等于0.5,其他的也一样计算。最后在整道题的计算中可以达到化简的目的。

例题二:四棱柱中,∠BAD=90度,∠BAA1=∠DAA1=60度。AB=4,AD=3,AA1=5,求AC1的长度。

这题当然可以利用纯空间几何求解。但是空间向量作为一种固定模式的解题方法,具有很方便的特点,一定要掌握。同样这题可以巧妙借助基向量来求解,这里用了两种方法,详细都在图片中。

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