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初中数学会接触到相对较难的一块就是几何，上学的时候就常听大人们说“几何几何，想破脑壳”。其实如果感兴趣，勤动脑筋，你也会觉得几何非常有意思的。好了，闲话少叙，下面给大家分享一个几何题的解决方法，欢迎大家讨论和指点： 这道几何题选自于2013年全国初中数学联赛（初三组）的初赛试题。下面我来讲讲题目的分析，思路和如何做辅助线，最终完成证明。 首先题目条件非常简洁，圆内四边形，CB=CD。然后求证等式，等式中含有平方关系和线长乘积。 感觉可能会用上等弧等角，还有相似三角形。题目中提到线段CA，所以很自然做辅助线CA。  根据等弧等角定理，得到∠BAC=∠DAC。同时由AB*AD的描述，联想到如何将两个线段放在一边上。可以制造全等三角形来实现： AD上截取AE线段，使之与AB相等（假设AD>AB），第二条辅助线自然出来了：连接CE。通过边角边很容易证明 △ABC和△AEC全等。  接下来一步非常关键，其实也不难，仍然是截长补短，让CA2 -CB2变成具体的线段。其实有两种方案，我首先想到的是通过勾股定理，但是没有好的构造方法。之后采用了第二种方法，截长补短： CA线段和其延长线上分别取CG=CF=CB。同时最后两条辅助线都呼之欲出了，连接GE和FD。那么CA2 -CB2变成了AG*AF。  这样求证命题变成了，如何证明AG*AF=AE*AD。很容易联想到相似三角形，有朋友们一眼就看出来了，其实就是证明△AGE和△ADF相似。间接证明∠AGE=∠ADF。这就容易了，因为我们知道点G，E，D，F都是在已C为圆心，CB为半径的圆（称为圆O2）上。所以∠AGE就是圆O2中四边形GEDF的外角，外角等于内对角。这个可以通过等弧等角定理证明，我就不详述了。 好了，今天的几何证明题就分享到这里了。如果大家有好的解法和意见，欢迎讨论。下次再聊吧。 |
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