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在小学数学教材中，数轴在二年级上册“8的乘法口诀”中第一次出现，贯穿了整个小学阶段关于整数、分数和小数的教学。引入数轴，不仅仅是练习的拓展，它能大大提升孩子们对数的感知，让数的学习从整数自然而然地扩展到分数、小数及新的数系的学习，沟通好三种不同数系之间的关系，从而建立起不同数系之间的知识网络。除此之外，在小学阶段教学中用好数轴，能培养学生的抽象思维能力，通过数轴结合数形结合、一一对应等数学思想，提升学生思维能力。 在小学阶段，如何借助数轴实现数系扩展、建立数系联系、构建数系网络呢？笔者通过以下几个环节对小学数学教材进行了整体把握。 一、初见数轴，抽象数学本质，感悟数学思想从结绳记数开始，我们就在抽象思想的孕育中开始了数学的学习，一切思想的源头都是由抽象得出的[1]。在小学阶段，孩子们是在二年级上册学习“8的乘法口诀”时第一次接触数轴。通过把仪仗队的队员抽象成点，8个点抽象成线段，体现在数轴上，让孩子们经历从具体到抽象的过程。通过具体的实际背景抽象出数，算理和算法就在直观与抽象的转换之间得以明确。 [案例1]小学数学二年级上册“8的乘法口诀”。 本课通过具象呈现乐队训练的队列，把仪仗队队员半抽象简化成一个个圆点，借用“数轴”这个直观模型，使数与形结合，突出连加的结果，为记忆乘法口诀做铺垫。 为了让学生经历感官体验，积累丰富的知识储备，笔者通过以下几个步骤呈现了从具体到抽象的过程。 1.具象呈现直观呈现仪仗队8×8的方阵。 师：同学们，你能得到什么数学信息呢？ 生：一列有8人。 微电网中电源由容量不超过50MW的分布式电源构成，一般为光伏发电、风力发电、生物质发电等。其中光伏发电既为清洁能源，又不受地理位置的约束，是目前最适合生活区域内小范围供电的发电模式，故电源选用分布式光伏发电系统。其光伏发电阵列可根据具体环境、建筑的结构合理布置。 罗伯特·弗洛斯特被誉为美国的“民族诗人”。[1]The Road Not Taken是其所创作的一首哲理诗，展现了现实生活中人们处在人生的分岔路时难以抉择的心情。本文选择了顾子欣，李敖对于诗歌The Road Not Taken的中译版本，从许渊冲的“三美论”原则出发对其翻译效果进行对比和赏析。 生：一排有8人。 生：两排有8+8=16人。 在劳拉看来，相比于保时捷911 GT2 RS偏软的底盘，她更喜欢迈凯伦的硬朗，虽然这并不会影响圈速的排名。对于经验尚浅的驾驶者来说，驾驶迈凯伦跑出的圈速通常优于保时捷，但对于职业车手来说则恰恰相反。换言之，保时捷911 GT2 RS拥有更高的极限，但前提是驾驶者对其特性的了然于心。 Réhahn是法国著名的摄影师，他出生于法国诺曼底巴约镇。2007年，他首次与法国NGO组织“越南儿童”（Enfants du Vietnam） 一起访问了越南。自2011年以来，他一直居住在越南沿海城市会安。 …… 情境化教学是为了让孩子们从平时喜闻乐见的场景中寻找数学信息，具体化的场景让孩子们感受到数学来源于生活。 2.半抽象简化师：为了我们看得更清楚一些，我把一个仪仗兵用一个小圆点来表示，你还能找到刚才的数学算式吗？ 生：(根据课件出示的圆点说算式)1个8是8，2个8相加是16…… 把人转化成一个个的小圆点，把具体的形象简化成一个图形，让孩子们自然而然地接受半抽象的过程。 3.抽象表征师：我们还可以用一条线段来表示一排圆点，用8条长度一样的线段表示8排圆点，把它们放在同一条线上(出示数轴)你还能找到刚才的数学算式吗？
把几个小圆点连成一条线，用孩子们容易理解的方式进行半抽象到抽象的过渡。 摄影术诞生于1839年。达盖尔把银版摄影法技术公布于世，此项发明在社会界引起巨大的轰动，摄影术由此诞生。摄影术就是通过专门的手段记录事情发生的瞬间的艺术行为。摄影分为静态摄影和动态摄影。静态摄影即图片摄影，动态摄影即影视摄像。 在这个过程中，孩子们经历了具象—半抽象—抽象的过程，通过数轴还原了8的乘法算式的本质，就是几个8相加。建立数在数轴上一一对应的关系，利用数形结合的数学思想方法，抽象出数学本质，让数学学习更具备数学味。 护理工作也要面对复杂的人际关系,如:医护、护护、医技、后勤、职能等相关部门,稍不注意就会困于人际关系的处理之中。任何一种人际关系都会直接影响护士的身心健康,其中最为明显的便是护患关系,有责任心的护士为病患做了许多,但由于许多的患者及其家属不理解护士的工作性质,时有辱骂、甚至殴打护士的事件发生,近年来,医患关系也是日益紧张,在高压的工作环境中,护士的身心更加紧张、焦虑、疲惫。 二、借助数轴的连续性和一一对应的特点实现数系扩展小数与分数的引入意味着“数”概念(更严格地说，应是“数系”)的重要扩展[2]。自然数(整数)、分数、小数应当把它们看成同一数系的共同组成部分。而通过数轴上点和数一一对应的特点以及数轴的连续性，可以在同一条数轴上按从小到大的顺序展现自然数(整数)、分数、小数这个同一数系的所有数，从而实现在两个相邻整数间引入分数和小数，利用数轴的连续性实现了数系的扩展，说明了引入新数的必要性。 以打造“中国最好玩的草原”和“中国第一个国家AAAAA级草原旅游区”为突破口，区别于坝上其他区域，以草原风光为基础，以休闲度假为核心，以游乐为重点，打造集草原生态观光、草原休闲游乐和度假于一体的具备国际级观光与休闲度假品质的综合型休闲度假旅游区。 1.通过数轴实现整数到分数的数系扩展，沟通整数和小数之间的联系在案例1中，孩子们经过抽象的过程，初步感知数可以用点来表示，也可以用长度相同的线段来表示相同的数。而我们通过数轴上的点可以表示数，一个点表示一个数，可以帮助学生完成从整数的认识到分数的认识这个巨大的跨越过程。 [案例2]小学数学三年级上册“分数的初步认识”。 出示分饼的情景：把4个饼平均分给2个小朋友，每人能得到几个饼呢？  把2个饼平均分给2个小朋友，每人能得到几个饼呢？  把1个饼平均分给2个小朋友，每人能得到几个饼呢？  通过把4个饼平均分给2个小朋友，学生们把具象的饼转化成半抽象的图形(圆形)，教师把半抽象的图形抽象成数轴，让孩子们感知2在0和4的中间；再次通过把2个饼平均分给2个小朋友，通过建立数轴可以让孩子们感知1在0和2的中间；最后水到渠成地建立 2.通过数轴实现整数到小数的数系扩展，沟通分数与小数之间的联系小学数学三年级上册教材中指出，像3.45，0.85，2.60，36.6，1.2和1.5这样的数叫作小数。这是孩子们第一次接触小数，但是没有说清楚为什么要有小数、小数本质上是什么数，已经有分数了，为什么要有小数呢？整整过了3个学期，到了四年级下学期才交代为什么要有小数。 在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时也常用小数来表示；同时，教材用直尺上的刻度辅助理解小数意义。但此时学生们并没有完全理解小数是什么样的数。一次性出现数轴、单位换算，把所有的难点集中到一个课时，使孩子们对小数的理解出现了非常大的困难，在课后练习和测试中也可以发现孩子们出错率非常高。由于素材太少，仅仅局限于长度单位之间，孩子们遇到其他单位的时候，对整数和小数之间的换算存在一定的困难。基于对教材的整体把握和知识螺旋上升的特点，笔者把数轴下放到三年级的“小数的初步认识”一课中，以数轴为桥梁沟通分数与小数之间的关系。 [案例3]小学数学三年级下册“小数的初步认识”。 估一估，算一算。 25÷3≈生：我把25估成27，27÷3=9，所以25÷3≈9。 生：我把25估成24，24÷3=8，所以25÷3≈8。 师：这两个估算结果和准确值比较，有什么不一样？ 生：把25估成27，是估大了，所以准确值比9小。 生：把25估成24，是估小了，所以准确值比8大。 师：看来在8和9之间还存在一些数。 出示数轴。 东中国海潮波模型模拟结果见图3，分析可知：太平洋潮波以前进波形式穿越琉球群岛，进入中国东海，其等振幅线与同潮时线斜交。从台湾海峡北上的潮波在黄海附近与太平洋西进的潮波叠加，并受山东半岛凹进岸线的阻挡反射，形成复杂的旋转潮波系统，该潮波系统旋转方向为左旋，并衍射至长江入海口三角洲。本工程海域也在衍射范围内，受两个潮波系统辐合作用，形成辐射状潮汐流场，潮流、泥沙特征十分复杂。  从估算引入，如果这个数比8大又比9小，那这是一个怎样的数呢？让孩子们产生学习新数的渴望。在三年级上册学习“分数的初步认识”时也是借助数轴引入产生新数的需求，分数和小数的产生都有相同的地方，那么，分数和小数到底有什么联系呢？引发孩子们的深层思考。 三、借助数轴沟通数系联系，建立数学知识网络从整数到分数这一次数概念的扩展，是小学阶段学生经历的第一次数系扩展。很显然无论是在数的意义、写法和读法上面，分数都与学生之前接触的整数存在较大的差异[3]。而在分数的算法上，也与整数有比较大的区别，特别是异分母分数的加减上，要先进行通分才能进行相加减。如何建构整数和分数之间数的运算联系呢？张奠宙先生指出：“一个分数可以有无限多种表示方法”[3]，通过分数的基本性质，进行等价类，把同一个分数用多种形式去表示，经过数轴的数形结合展示，可以找到整数和分数加减运算的联系。 [案例4]小学数学五年级下册“异分母分数加减法”。 3.防止孩子太压抑，教会孩子适当宣泄不良情绪。人在精神压抑的时候，如果不寻找发泄机会宣泄情绪，会导致身心受到损害。生理学研究表明，人的泪水含有的毒素比较多，用泪水喂养小白鼠会导致癌症。可见，在悲伤时用力压抑自己，忍住泪水是不合适的。另外，在愤怒的时候，适当的宣泄是必要的，不一定要采取大发脾气的方法，可以采用其他一些较好的方法。例如：在盛怒时，不妨赶快跑到其他地方，或找个体力活来干，或者干脆跑一圈，这样就能把因盛怒激发出来的能量释放出来。 出示例题： 出示数轴：(1) (2) (3) 生质疑：为什么这里 生：因为 在传统模式下，无论任何事情都需要人员亲自来完成，不仅耗费大量时间，而且最终效果不是很好。为了改善这种情况，要坚持与时俱进理念，引入信息化技术，和实际工作有机结合在一起，有利于提高整体水平。施工中会涉及到大量数据信息，例如材料、人员、制度等，管理起来比较麻烦，通过建立信息化平台可以实现统一管理，大大提高了效率和质量，准确了解工程进展情况。技术是处于不断变化之中的，所以要树立起创新意识，才能保证自身的先进性。人员要对计算机设备可以灵活运用，按照规定去操作，保证电气工程建设的高效推进。 生：因为两个线段的长度不同，要把它们变成相同长度的才能知道有多少份。 3）业务应用逐步融合。基于大数据的协同性、开放性和整合性的特点，建立校园数据中心，整合不同业务系统和提升数据流转效率，构建数据建设体系，对结构化数据和非结构化数据进行收集、清洗、加工、整合、应用，进而实现数据的资产价值，整合不同业务系统，提供高效、便捷的信息化服务门户。 生：为什么分子不能直接相加？ 生：因为分母不同，所以不能相加。 师：了不起，分母相同大小才能直接相加，所以要把 在这个对话过程中，通过数轴让孩子们直观地感知，只有长度相同才知道一共有多少份，从而把分数的分数单位和数轴上一段长度相结合，突破了分数加法要分母相同(分数单位相同)才能相加减的难点。利用数形结合思想把抽象的分数单位直观地用长度相同的线段表示，学生非常自然就从整数加减法迁移到分数加减法，在这个时候，结合课前的复习，让孩子们领会到，整数的加法是几个一、几个十、几个百……相加，而分数加法需要几个几分之一相加。这时我们就可以更好地理解数轴对数的认识的重要作用，特别是，只有统一地以“1”作为基本的计数单位，我们才能将所有这些数都看成同一数系中的平等成员[2]。 四、利用数对体验一维数轴扩展到二维坐标系的过程小学数学人教版五年级上册“位置”一课中，用一个有序的数对描述平面物体的位置，让学生经历如何用数对表示位置的过程，感受用数对表示位置的简洁性和合理性。教学过程及练习设计层层简化和抽象化，如下所示：
一组数对从表示一个具体的具象(教室里的一个座位)，简化到方格纸交点的一个点表示动物园一个门的位置，到直接用一个点和一组数对进行一一对应，从而建立了数对和格点之间的对应关系，为以后建立坐标系研究曲线与方程做好了铺垫。 对于实验中涉及的参数，本文沿用Guo等在文献[7]中设定的参数值.具体为：两个数据集的隐含特征矩阵的特征个数均为d=10；正则化参数λ=0.6,λt=0.1；迭代次数h=20.除此之外，针对FilmTrust 数据集，α=0.6，Epinions数据集，α=0.4.关于权重α取值对预测结果的影响将在4.2.3小节中给出相应的调节实验. 为了加强学生对数对的感性认识，教师在课堂中还可以让学生多举一些生活中的例子，比如电影院的位置、操场上同学们站点等。有些学生还能举出三维的例子，比如公寓的位置几排几栋几层。让孩子们从实际的例子去感受二维到三维坐标系中位置和数对的一一对应关系，培养学生的空间感。 在整个小学阶段的教学中，借助数轴进行教学，利用数轴上点和数与一一对应的关系，可以帮助学生沟通不同数系之间的关系，建立数系之间的知识网络。数轴的教学经过了“具象—半抽象—抽象”的过程，直观并且简单的形式成为孩子们喜闻乐见的解决问题的方法，同时培养了孩子们“数学地思维”的能力[2]，将数学思维教学与具体知识内容教学很好地结合起来，向孩子们展现了“活生生”的数学研究活动，而不是死的数学知识，并使学生不仅能够掌握具体的数学知识，也能领会内在的思想方法[4]。 “人体是上帝缔造的最完美的艺术品，尤其是按黄金比例分割的女人体，女性的身体不仅是生命之源，也是完美的艺术品。将美好的一面展示给众人，这是人的天性。文艺复兴时期与达芬奇、米开朗基罗齐名的拉斐尔曾画过许多裸体的圣母，人们从她们身上想到的不是性，而是圣洁。我希望大家也能从我的身体上读到圣洁。” [参 考 文 献] [1] 王永春.小学数学思想方法解读及教学案例[M].上海：华东师范大学出版社，33. [2] 郑毓信.小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例[M].上海：华东师范大学出版社，3，9，82，87，118-119. [3] 张奠宙，巩子坤，伍敏龙，等.小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018：124，127，138. [4] 郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社：前言. |
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在数轴上的位置，在0和1的中间。三年级小学生已经有数字范围的概念，知道自然数0和1的位置。孩子们通过经历具象(实物)—半抽象(圆形)—抽象(数轴)的过程，体验到还有一种数，这种数在自然数0到1之间，是自然数的扩充
