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你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。 我们上一讲讲了一元三次方程的解法，说里面可能涉及到一种并不存在的虚数。也就是说它们自身的平方是负数。 虚数在现实中显然不存在，我这讲会通过这个例子告诉你，数学家是如何虚构一个现实中不存在的概念，解决现实问题的。 我们在初中学到平方根这个概念时，老师会说，只有正数和零才有平方根，没有哪个数字自己乘以自己会等于负数。在解二次方程时，我们可能会遇到根号里面有一个负数的情况，但是老师说，不用管它，我们就认定它无实数解即可。 但是当学到了三次方程时，这个问题就回避不了了，因为根据上一讲介绍的公式，即使一个有实数解的三次方程，在求解的过程中，也会遇到要对负数开根号的情况。比如下面这个方程： X³-15X-4=0 显然X=4是一个解。 但是，如果我们利用昨天说的费拉里-塔尔塔利亚公式算，得到的是这样一个解，听音频的朋友可以看一眼，你不用关注细节，只要留心里面有√-121就好。 于是给负数开根号这件事就绕不过去了。数学家们只好虚构出一个数，让它的平方等于-1，这个数我们常常把它写成字母i，就是拉丁语中imagini（相当于英语中的image）“影像”一词的首字母，它代表非真实、幻影的意思。 有了这个人造的、虚幻的数，上面那个复杂的一堆根号的式子就能计算下去了，而且算出来就是4。你可能会问其中的虚数去哪里了，很有意思的是，它们正负抵消了，数学基础比较好的同学可以自己推导一下，算是留给你的思考题。 这件事你如果细想是很有意思的。如果我们真实的世界里有一个三次方程，比如给一些限制条件后计算一个长方体的尺寸，也就是解三次方程的问题，卡尔达诺等人找到了一个公式，可以计算出问题的答案，但是算到一半你就遇到一堵墙越不过去了，于是你引入一个不存在的工具，用了一下就翻过墙了。 这在哲学上其实很有意思，明明是现实世界的问题，而且在现实世界里也有答案，但是却无法直接得到，非要发明一个不存在的东西作为桥梁。 怎么能够形象地理解虚数这种抽象概念的作用呢？我们的数学课基本上不讲，老师只是说，记住它的定义就好，回头学生们就一头雾水了。我通常用三个例子来形容它的作用。 一个是化学中的催化剂。我们知道，催化剂在化学反应完成前后是不改变的，它只是起到一个媒介的作用，但是没有它，化学反应要么特别慢，要么干脆进行不下去。 另一个例子不算太确切，但是好理解，就是传话筒。我们经常看到这样的现象，夫妻俩吵架后，谁也不愿意和对方说话，但是都清楚这个交流不能中断，要继续下去，于是就找孩子带话，比如教孩子说：“去，和你妈说明天的家长会我去，她就不用去了。”孩子把这个意思传递后，又带回一句话：“妈妈说，你要是去开家长会，她就先回家做饭了。” 这样传几次话，可能夫妻间的问题就解决了。在这个过程中，夫妻间的问题不涉及到孩子，孩子在传话时甚至不明白其中的含义，但是没有这个局外的传话筒，夫妻之间的问题可能就解决不了了。 最后一个例子是虫洞。我们接下来就开一下脑洞。假如你和一个相爱的人在同一个宇宙中，但相隔几十光年，你想对她说一句我爱你，但哪怕你搭载光速飞船去找她，她听到的时候都已经老了。 现在有一个虫洞，你可以从中穿过去，在瞬间到达另一个平行宇宙中，然后再从另一个虫洞穿回现在的宇宙，这也是瞬间的事情，这样你就能很快到她身边了。你们二人本来是在同一个宇宙中，但是却要依赖另一个和你们无关的宇宙来回穿越。 虚数也是如此，在上面的式子中，我们把它创造出来，又把它正负相抵消，该得到实数的答案依然是实数的。从更广义的角度讲，很多数学工具都是如此，它们并非我们这个世界存在的东西，而是完全由逻辑虚构出来的。但是我们现实世界的事情，却要用这些虚构的工具来解决。 那么虚数除了解三次方程还有什么用？它的用途可以归结为三个层面。 第一个层面是对于数学本身的影响。引入虚数的概念后，数学的一些逻辑上可能的漏洞就被补上了。 比如说，在实数的范围内，X^2+1=0是无解的，这样一来，有的多项式方程有解，有的无解，数学就不完美了。引入一个虚拟的概念，虚数i，就让所有的方程都变得有解了。更漂亮的是，引入虚数的概念后，所有的一元N次方程都会有N个解，没有例外。 第二个层面是作为工具的作用。有了虚数之后，很多复杂的数学问题，可以用简单的方法解决，这就如同前面介绍的三次方程的解法问题。这个问题虽然引出了虚数的概念，但是并不是它最大的用途。虚数作为数学工具最大的用途，可能是便于将直角坐标变成极坐标。 关于这两种坐标我们后面还会讲，简单地讲，在飞行、航海等场景里，极坐标更方便使用，比如我们说往两点钟的方向飞行20公里，这就是极坐标的描述方式。在极坐标的计算中，如果只用实数，非常复杂，如果引入虚数，就极为简单。 第三个层面是应用层面。量子力学、相对论、信号处理、流体力学和控制系统的发展都离不开虚数。 通过虚数这个例子，我首先想说的是，人类可能是唯一一个能够构想出不存在的事物的物种，这个能力对我们来讲非常重要。在我们生活的世界里，存在着大量的构想出来的东西。比如早期的人类要靠宗教崇拜团结起来，虽然最后一起去打仗，去探险的都是人，但是要没有宗教，人和人直接沟通，达不到团结的目的。 今天虽然大家不太需要宗教了，但是很多虚拟的概念已经深入我们人心，比如法律、有限公司、法人团体等概念便是如此，它们在自然界中并不存在，只是人们脑子里构建出的概念，但是如果没有它们，这个社会就运行不下去。当我们习惯于使用这些虚构的概念后，就会把它们真实化，感觉和真的一样。 为了让大家更好地理解这一点，我们不妨看一个法律学的概念——法人。 在早期的罗马法中，提出了法律主体的概念，它最初只涉及到自由人，后来因为要处理经济纠纷，就把一些机构看成是法律的主体，当作人一样看待，这就是法人概念的来源。这些法人，其实就相当于数学中所说的虚数的概念。 我们今天和一个公司打官司，其实在打官司的过程中接触到的还是人，但是你不会去告里面某个具体的人，而是针对这个虚构出的组织。当你打赢这个官司后，是里面具体的人执行对你的赔偿，但是你拿到的赔偿却是法人这个机构给你的。这就如同解方程时，我们需要借助于虚数，得到实数的解一样。 今天，衡量一个人认知水平的一个方法，就是看他接受虚拟概念的能力有多强，如果他只停留在看得见摸得着的东西，这个人的水平就不是很高。我们经常说那些只知道买房置地，收藏奢侈品的人是土财主，其实也是这个道理。 其次，虚数的出现，标志着人类对数这个概念认识的进步，特别是从形象思维到抽象思维的进步。 人类早期认识的数字都是正整数，1，2，3，4……因为大家接触到的周围的世界就是这样实实在在一个又一个的东西。事实上除了古印度，其他文明在早期数字中都没有零这个数，因为零这个概念比较抽象，人类从有数字开始花了几千年才搞明白。 接下来有了数字就要做运算，两个自然数相加或者相乘，结果还是自然数。但是，到做减法和除法时就出现了问题，因为2-3=？，2/3=？在自然数中找不到。于是人们就发明了负数和分数（就是有理数）的概念。这两个概念就比自然数要抽象一些了。 很多人觉得数学越到后来越难学，就是没有能突破抽象思维的瓶颈。有了正负的概念，有了分数的概念，就形成了有理数的概念，加减乘除和乘方五种运算就都没有问题了。自从毕达哥拉斯定理被发现，人类就不得不面对开方这件事，就不得不定义出无理数。 再往后，又因为要对负数开方，便发明了虚数的概念。实数和虚数合在一起，就形成了复数。我把人类认识数的过程用一张图表示出来，它是从中心往四周扩散的： 那么复数有什么用呢？为什么要搞出这么一个在现实世界中完全不存在的概念呢？仅仅是为了让开方运算变得完备么？当然不是。复数是一个非常强大的数学工具，使用这个建立在现实生活中所不具备的事实的基础之上的数学工具，可以解决很多现实世界里的问题。 这句话可能听起来有点绕口，换一种方式讲是这样的，复数的基础在现实世界里并不存在，但是建立在不存在基础上的工具，却能解决实际问题。 比如我们使用的三相交流电是实实在在地存在的，它里面的很多问题，用复数这个工具解决，要比用实数加上三角函数解决起来容易得多。实际上，涉及到电磁波的几乎所有问题，都需要使用复数这个工具来解决。 对于今天的内容，你如果体会到像虚数这样媒介工具的作用，以及通过数字的扩展历史，体会到人类认知升级的过程，就算是掌握精髓了。 |
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