五、黎曼几何1、“柔性”度规的时空即黎曼几何的时空爱因斯坦在研究中又发现，时空的度规对引力场有依赖关系。得出了任何引力场的出现，意味着时空度规的改变，引力场以完全确定的方式给测量工具和时钟以影响的结论。从而将狭义相对论所依附的“刚性”时空度规推广到非惯性系和引力场相联系的“柔性”时空度规（即在非欧空间中随位置改变的黎曼度规）。 在他的老同学苏黎士工业大学数学教授格罗斯曼的帮助下，很快发现上面的问题早已由黎曼、里奇和契维塔解决了。在格罗斯曼的合作下，爱因斯坦把绝对微积分，即黎曼张量运算引入了物理学。把平直空间的张量运算推广到弯曲的黎曼空间，为建立广义协变性引力理论开辟了道路。 我们看到，当我们把缺口两侧粘合在一起时，由于缺口两侧的箭头和缺口侧边的夹角并不相同（虽然在平面上，两箭头依旧是平行的），左侧边的箭头近于与侧边平行，右侧边的箭头近于和侧边垂直，因此粘合后，这两个箭头之间会出现一个夹角。它刚好等于顶点处与360度的差（即剪去的角度）。该点处与平坦时空的圆周角360有缺少，从而说明该点处弯曲而不平坦（是一个凸点），从而导致矢量平移有方向改变。 六、广义相对论方程的导出1、用度规张量作为建立方程的基础2、方程应该是把几何量联系于物质量的形式爱因斯坦在研究中发现，几何学与引力场有密切的内在联系，时空的属性同物质的分布和运动有关。当没有物质存在时（也没有引力场），时空是平直的（即数学上的欧几里得空间）；当有物质存在时，时空的性质发生了变化，时间和空间变得不均匀，大质量物体的周围时空要发生弯曲（即数学上的黎曼空间），爱因斯坦逐一找到了引力场中的物理量与黎曼几何中的数学量的对应关系。 3、场方程的数目等于场变量的数目10个 另外，广义协变性原理要求从一个弯曲时空到另一个弯曲时空变换时物理定律应该是协变的。因此物理定律必须用黎曼空间中的标量、矢量、二阶张量等来表达。 那么，我们看看在黎曼(弯曲)空间中，我们用什么形式的张量方程合适吧： 0阶：标量(几何)=标量(物理) //1个方程 1阶：矢量(几何)=矢量(物理) //4个方程 2阶：二阶非对称张量(几何)=二阶非对称张量(物理) //6个方程 二阶对称张量(几何)=二阶对称张量(物理) //10个方程 一般二阶张量(几何)=一般二阶张量(物理) //16个方程 3阶：… 因此，我们应该在二阶对称张量的基础上建立方程。 6、物质方面满足要求的张量7、最终得出场方程七、广义相对论的意义1916年爱因斯坦发表了论文“广义相对论的基础”，对广义相对论的研究作了全面总结。 爱因斯坦创造性的思想给物理学带来了新的观念．在广义相对论中，物质的存在改变了物理时空的平直性质，空间、时间是弯曲的，时空的弯曲程度反映了引力作用的强弱，广义相对论终于把时间、空间和物体统一在一起了。 1、引力是假象，时空几何决定一切正如下图所示，时空就像那张弹性网，而地球就像一个位于弹性网上的大球。地球的重量使得弹性网凹陷下来，这就像爱因斯坦场方程中物质的能量动量张量使时空变弯曲一样。远处飞过来的小球一方面也使弹性网由些许变形，更重要的是，大球造成的凹陷使得它偏离了直线运行的路线，而变成围绕大球旋转，或通过旋转逐步靠近大球。这就是爱因斯坦场方程所描绘的物体运行原理。 从这里我们看不到引力的出现，是时空的弯曲造成了小球围绕大球运动，而引力只是我们的想象而已。这就是爱因斯坦广义相对论的最大特色：没有力的作用，一切运动的原因都是由于时空几何。爱因斯坦在这里已经开创了一种新的世界观，在这个世界里没有力的概念，只是时空几何，它决定着物质如何运动。这个世界观颠覆了我们许久以来一直把力作为运动肇因的观念。 2、物质及其运动改变着时空几何爱因斯坦场方程可以写成下图所示的形式。方程左端是爱因斯坦张量，是一个描述时空几何的量，方程右端是物质的能量动量分布。从而，方程告诉我们，物质的能量动量分布确定着时空的几何结构。 我们看到，狭义相对论使我们打破了时空各自独立并且在整个宇宙统一的绝对时空观念。认识到在运动时，不仅时间、空间互相影响，而且各个惯性系的时间和空间也都不同。而在广义相对论里，时间和空间竟然可以由物质的分布来决定。真是使我们大跌眼镜，物质世界真是太奇妙了！时空再也不是那种和物质无关，只是用来盛放物质的“篮子”了，它和物质是密不可分的一对。物质及其运动改变着时空的几何。 通过以上两点，我们看到，时空决定着物质如何运动，而运动着的物质也决定着时空的结构，这两者互相影响，不可分割。这就是广义相对论带给我们的新视野。 利用爱因斯坦广义相对论方程，只要我们知道了物质的能量动量分布，我们就可以求解出时空的度规张量，从而完全确定了时空的性质。进而可以求出满足初始位置、速度要求的类似平坦时空中的“直线”，在这里它是叫做“测地线”的曲线，从而确定了物体的运动轨迹。在运动中，物体又进一步改变着时空，时空又改变着物体的轨迹。因此，这是一个需要不断迭代求解的过程。 3、时间和空间不再是均匀的，时空场可以处处不同由于时空几何取决于物质的能量动量分布，而物质的能量动量分布是不均匀的，因此，在广义相对论中，时空再也不是均匀的了。用洛伦茲度规描述的均匀时空只能是在局部小范围才会出现的特殊情形，或者是非均匀时空在局部范围的一个均匀近似。 八、广义相对论验证（待续），遨游我心_健康，2013.09.26原稿，2016.01.18修改 |
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