《相似》培优系列文章汇总

xyz3i 2019-12-11

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比（例）相关运用

——相似（1）

【例】已知a：b：c=2：3：4，且a+b﹣c=6．求a、b、c的值．

【分析】由已知可设a=2k，b=3k，c=4k（常法），代入已知等式可求出k，进一步得到答案．

【解】依题意可设a=2k、b=3k、c=4k，

∵a+b﹣c=6，∴2k+3k﹣4k=6，解得k=6．

∴a=2k=12、b=3k=18、c=4k=24．

【练习1】已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，a/4=b/5=c/7，求△ABC三边的长．

【解】依题意，可设a=4x，b=5x，c=7x．

∵a+b+c=48，

∴4x+5x+7x=48，解得x=3，

∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．

【解】依题意，得

y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，

将三式相加，得2（x+y+z）=k(x+y+z)．

移项并因式分解，得(k－2)(x+y+z)=0．

所以k－2=0或x+y+z=0．

当k－2=0时，得到k=2；

当x+y+z=0时，y+z=－x，

得k=－x/x=－1．

综上所述，k=2或－1．

【答案】8或﹣1（解法与拓展1类似）．

黄金矩形与相似相关概念

——相似（2）

【分析】根据题意画出符合条件的图形：在黄金矩形ABCD的较长边AB上截取AE=BC，另一边DC上截取DF=BC，连接EF，那么可以证明四边形AEFD是正方形；然后证明矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比即可．

【解】如下图示：

在AB上截取AE=BC，DF=BC，

连接EF．

∵AE=BC，DF=BC，

∴AE=DF=BC=AD，

又∵∠ADF=90°，

∴四边形AEFD是正方形．

∴矩形BCFE是黄金矩形．

∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

【拓展】如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割值.则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．

【分析】根据黄金分割，可设出矩形BCFE的长和宽，再对应地表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．

【解】原矩形ABCD是为黄金矩形．

理由如下：

设矩形BCFE的长BC为x，

∵四边形BCFE为黄金矩形，

∴宽FC为x，

∵四边形AEFD是正方形，

∴原矩形ABCD是为黄金矩形．

【例2】

【分析】根据相似多边形的相似的性质，根据相似多边形对应边的比相等，即可求解．

【解】如下图示：

设AB=CD=x，CE=y．则DE=x﹣y．

显然有：GC=0.5BC=0.5．

∵矩形ABCD∽矩形EHGC．

∴AB/GC=BC/HG，

即x/0.5=1/y……①

∵矩形ABCD∽矩形ADEF．

∴AD/AB=DE/AD，

即1/x=(x－y)/1……②

由①与②，解得：

x=，即AB＝.

【反思】注意分清对应边是解决本题的关键．

平行线分线段成比例定理的应用(1)

——相似（3）

【例1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，DE∥BC，DF∥BE，求证：AE：EC＝AF：FE．．

【分析】由于“DE∥BC，DF∥BE”，可直接利用平行线分线段成比例定理即可证明；

证明：∵DE∥BC，∴AE：EC＝AD：DB，

∵DF∥BE，∴AF：EF＝AD：DB，

∴AE：EC＝AF：EF．

【反思】平行——对应线段成比例．

【练习1】阅读与计算:

请阅读以下材料，并完成相应的问题．

角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则AB/AC＝BD/CD．下面是这个定理的部分证明过程．

证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　　．

解析

（1）如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，由CE∥AD可得BD/CD＝BA/EA，∠2=∠ACE，∠1=∠E，又∠1=∠2，所以∠ACE=∠E，得到AE=AC，因此AB/AC＝BD/CD；

（2）如图3，由勾股定理，得AC=5，因AD平分∠BAC，所以AC/AB＝CD/BD（上述结论），即5/3＝CD/BD．得BD=3 BC/8=3/2．又由勾股定理，得AD=…=（3√5）/2，∴△ABD的周长=3/2+3+（3√5）/2＝（9+3√5）/2．

【例2】已知：如图，E在线段AB上，AD和BC交于F点，AC∥EF∥BD，若AC＝a，BD＝b，EF＝c，求证：1/a+1/b=1/c.

【解析】由平行条件，可用平行线分线段成比例定理.

由EF∥AC，可得△BEF∽△BAC，进一步可得：c/a=n/(m+n)；

由EF∥BD，可得△BEF∽△BAC，进一步可得c/b=m/(m+n)；所以c/a +c/b =n/(m+n) +m/(m+n)＝(m+n)/( m+n)＝1.两边都除以c，得1/a+1/b=1/c.

【反思】综合运用了平行→相似→对应边的比相等，然后通过两式相加．类似等式的证明常用此法.

【练习2】如图，梯形ABCD的对角线交于O，过O作两底的平行线分别交两腰于M，N．若AB=4，CD=1，求MN的长.

【解析】此图可以看作是两个类似例题的图组合而成，因此可利用例题的思路解决.如下图示：

平行线分线段成比例定理的应用(2)

——相似（4）

【例题】如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连CF并延长交AB于E，已知CD/BD=n，求AE:BE的值.

【解析】本题有超过12种以上的解法（均类似），过图中任意点作任意一条线段的平行线均可求出（均根据平行线分线段成比例定理），只是计算有繁有简，下面仅提供五种常用的解法。为了书写方便，由CD/BD=n不妨设BD=1，则CD=n.

法一：过F作BC的平行线交AB于M，如下图示，不难证得M是AB的中点.

从而AE＝AM－ME＝2nt，

因此AE：BE＝2nt：2(1+n)t＝n/(1+n).

法二：过D点作DM∥AB交CE于M，如下图示，不难得到：

法三：过D点作DM∥CE交AB于M，如下图示，不难得到：

法四：过A点作AM∥CF交BC的延长线于M，如下图示，不难得到：

法五：过F点作FM∥AB交BC于M，如下图示，不难得到：

【反思】本题的所有解法的本质都是利用“平行线分线段成比例定理（三角形的中位线的逆命题）的相关知识.

【练习】如图，△ABC中，D在BC的反向延长线上，F在AD上，且AF：FD＝2：1，连CF并延长交AB于E，已知CD：BD=3：1，求AE：BE的值.

【解析】与例题类似，同样有多种解法，仅以一种解法解析。

由CD：BD=3：1，可设BD＝a，则CD＝3a，BC＝2a.过B点作BM∥AD交CF于M点，则有△BCM∽△DCF，再设BM＝t，不难得到DF＝1.5t.如下图示：

相似三角形的判定(1)

——相似（5）

【例1】如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，则图中一定相似的三角形有_____对.

【解析】如下图示：

理由如下：

∵∠DCE=∠ABE，∠CDE=∠BAE，

∴△CDE∽△BAE．

同理△AED∽△BEC．

∵∠P=∠P，∠CDB=∠BAC，

∴△PDB∽△PAC．

∵∠DCB+∠BCP=180°，

　∠DCB+∠DAB=180°

∴∠BCP=∠DAB．

∵∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAD．

∴共有4对．

【反思】圆的相关结论非常丰富，可用的定理多，易找到角相等.

【练习1】如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，若AD＝CD，则图中一定相似的三角形有_____对.

【解析】除了例2中的4对相似外，多了一个条件AD＝CD后，就多了4对相似，如下图示：

△ADE∽△BCE∽△BDA（3对）.

【例2】如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形共有_____对.

【解析】由“△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形”可得∠B=∠C=∠FAG

=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°，又∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，因此有：△ADC∽△EDA∽△EAB（3对），以及△ABC≌△GAF，所以共有4对.如下图示：

【例3】已知：如图，∠ADE=∠ACD=

∠ABC，图中相似三角形共有（　）．

A.1对　B.2对　C.3对　D.4对．

【解析】根据“∠ADE=∠ABC”判定DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再利用“∠ADE=∠ACD及公共角A”可得△ADE∽△ACD，从而得到△ABC∽△ADE

∽△ACD，此时共有3对相似，又从“∠ACD=∠ABC及∠CDE=∠BCD(因DE∥BC)”可得△EDC∽△DCB，因此总共有4对相似，故答案应选D.

【反思】熟练掌握判定相似的几种方法是解题关系，特别注意几个三角形均相似(连着相似)的情况下，往往有多种答案.

【练习1】如图，平行四边形ABCD中，F是BC延长线上一点，AF交BD于O，与DC交于点E，则图中相似三角形共有_____对（全等除外）．

【解析】由“ABCD是平行四边形”可得AD∥BC，AB∥DC，因此可得到：△ADO∽△FBO，△ABO∽△EDO，△ADE∽

△FCE∽△FBA（3对），因此共有5对．

相似三角形的判定与性质(2)

——相似（6）

【例题】如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求DE的长．

【解答】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=8，

∵△ADF∽△DEC，

∴AD/AF＝DE/DC，

∴DE＝AD×CD/AF＝…＝12．

（相关数据代入计算即可）

【反思】熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键．

【拓展1】如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AD=18，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=8×根号2，求△CEF的周长.

【解析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似的性质求△CEF的周长．如下图示，

不难得到△ABE的周长＝12+12+8＝32，同时可求得CF＝6，再由平行四边形ABCD可得：AB∥CD，进一步得到△CEF∽△BEA，相似比为CF：AB＝6：12＝1：2.

再利用相似三角形的周长比等于相似比，可得△CEF的周长＝32×1/2＝16.具体解答过程如下：

【解】∵在平行四边形ABCD中，AB=CD=12，AD=BC=18，∠BAD的平分线交BC于点E，

∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=18；

∵AB=BE=12，∴CF=6；

∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=12，

BG=8×根号2，由勾股定理，

可得AG=4，

又∵BG⊥AE，

∴AE=2AG=8，

∴△ABE的周长等于32，

又∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，

∴△CEF的周长为16．

【反思】注意平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识灵活运用，特殊注意相似三角形的周长比等于相似比．

【拓展2】如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，且交AB于E，DB与CE相交于O，已知AB=6，BC=4，求OB/DB的值.

∵CE是∠DCB的平分线，

在平行四边形ABCD中，DC∥AB

∴∠DCO=∠BCE，∠DCO=∠BEC

∴∠BEC=∠BCE　∴BE=BC=4

∵DC∥AB　∴△DOC∽△BOE

∴OB：OD=BE：CD=2：3

即OB：DB＝2：5.

相似三角形的判定与性质(3)

——相似（7）

【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点F是BC的中点，点E是边AB上一点，且BE=2，连结DE，EF，并以DE，EF为边作▱EFGD，连结BG，分别交EF和DC于点M，N，求BM：NG的值.

【解析】先判定四边形DEFG是正方形，进而得出∠EFG=90°，DG=DE=FG=根号5.如下图示：

其次,与BM、GN有关的△EBM∽△DGN，

如下图示：

因此可以得到：BM：NG＝EM：DG，DG是已知的，因此只需求出EM即可.

【反思】本题是常见的构造三角形相似题，也是常见的几何计算试题，注意体会（尤其是图中的子母Rt△形）.

【拓展】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点F是BC的中点，点E是边AB上一点，且BE=2，连结DE，EF，并以DE，EF为边作▱EFGD，连结BG，分别交EF和DC于点M，N，求MN的长.

【练习】已知：正方形ABCD中，AB=4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接DH．

（1）求证：BG=2DG；

（2）求AH：HG：GE的值；

（3）求BH/HD的值．

（2）

　　得到GE＝AE/3＝（2√5）/3．

∴HG＝AE－AH－GE＝…＝（8√5）/15．

∴AH：HG：GE=…=6：4：5．

（3）由(2)可得BH＝(8√5)/5．如下图示：

由勾股定理，得HD＝（4√10）/5．

从而BH/HD＝…＝√2．

法二：如下图示，

当然，学了下一章后，解法就更精简了。

相似三角形的判定与性质(4)

——相似（8）

【例题】如图示，已知△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=6，AC=8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，求线段CF的最小值.

【图解精析】如下图示，由原两个三角形相似可得到：

得∠ECG+∠ACD=∠ADG+∠AEG＝90°，即∠DCE=90°，即：

得到CF＝0.5DE.

因此当AD最短时，CF最小，而当AD最短时，可利用面积公式得到：AD＝AB×AC/BC＝4.8，再利用△ABC∽△ADE得AD/DE＝AB/BC，即4.8/DE＝6/10，∴DE=8，故CF的最小值就为CF=0.5×8=4．

详细过程如下：

【解】如图，连接CE，

∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD=∠AEG，

又∵∠AGF=∠DGC，∴△AGE∽△DGC，

∴AG/DG＝EG/CG，

又∵∠AGD=∠EGC，

∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG=∠ECG，

又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG=90°，

∴∠ECG+∠ACD=90°，即∠DCE=90°，

∵F是DE的中点，∴CF=1/2DE，

∵△ABC∽△ADE，

而当AD⊥BC时，

∵由△ABC∽△ADE得AD/DE＝AB/BC，

　即4.8/DE＝6/10，∴DE=8，

∴CF=0.5×8=4．

【反思】本题是典型的“旋转相似”的应用.除了要熟练相似三角形的判定与性质，以及常见的基本相似图形（子母直角三角形）的常见应用外，解题时还要注意：在几何中求解最值问题的常用依据是两点之间线段最短和垂线段最短，以及要理解好它们之间如何进行转化.另外本题中A、D、C、E四点共圆（本题解法，其实也是四点共圆的一个常见解法.如下图示：