2020届高三文科数学一轮复习模拟练习卷
本试卷共页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）已知全集为实数集，集合，，则
A．B．C．D．
（3）改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快速构建.北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7500元增长到2017年的40000元.1998年与201年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示：
1998年北京市城镇居民消费结构201年北京市城镇居民消费结构
则下列叙述中不正确的是
A2019年北京市城镇居民食品支出占比同1998年相比大幅度降低 2019年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少 2019年北京市城镇居民医疗保健支出占比同1998年相比提高约60% 2019年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5000元，大约是1998年的14倍
（4）设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
（5）为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的
A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移个单位长度
B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
（6）执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．
A．B．C．D．
（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为
（A）2 （B） （C） （D）
（8）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若满足，则的最小值是
（10）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是．
第10题图第13题图
（11）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．
（12）边长为的等边的三个顶点，，都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为__________．
（13）已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则，．
（14）数列满足，，则____.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a=3，，cosB=．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B+C）的值．
（16）（本小题13分）
已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
（17）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，为棱的中点，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
（18）（本小题13分）
某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表.规定：数据≥，体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 良好 及格 不及格 以下 总计 -- (1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；
（3）表中优秀、良好、及格、不及格四个等级的男生、女生平均分都接近（二者之差的绝对值不大于），但男生的总平均分却明显高于女生的总平均分．研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级．（只需写出结论）
（19）（本小题14分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．
（20）（本小题14分）
已知函数(为自然对数的底数).
（1）若函数的图象在处的切线为，当实数变化时，求证：直线经过定点；
（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.
数学（科）参考答案及评分标准
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A（2）C（3）B（4）C
（5）B（6）B（7）D（8）D
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）3（10）48
（12）
（13），（14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（本小题13分）
，得
．
因为，
所以．
解得．
所以．
（Ⅱ）由得．
由正弦定理得．
中，．
．
（16）（本小题13分）
解：（1）设数列的公比为，则
……………………2分
解得， ……………………3分
所以， ……………………5分
令，则
……………………7分
……………………9分
（2） …………………13分
（17）（本小题13分）
解：（1）因为底面，底面，
所以，
正方形中，
又因为，
所以平面，
因为平面，
所以．…………….4分
（2）正方形中，侧棱底面.
如图建立空间直角坐标系，不妨设.
依题意，则，
所以.
设平面的法向量，
因为，
所以.
令，得，即，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；………………11分
（3）由（Ⅰ）知平面，所以为平面的法向量，
因为，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．…………………14分
（18）（本小题13分）
解：（1）样本中合格的学生数为：，样本总数为：，
这名学生体质健康合格的概率为.….5分
（2）设事件为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”，.
事件为“从女生样本中随机选出的人的体质健康等级是优秀”,.
因为为独立事件，
故所求概率为
.….10分
（3）去掉的等级为优秀.….13分
（19）（本小题14分）
解：（1）依题可知，
因为，
所以
故椭圆的方程为．
（2）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可设直线的方程为．
则点坐标为，中点的坐标为，
由得
．
设点的坐标为，则．
所以，．
因为点坐标为，
当时，点的坐标为，直线的方程为，
点的坐标为．
此时以为直径的圆与直线相切．
当时，直线的斜率．
所以直线的方程为,即．
故点到直线的距离
（或直线的方程为,
故点到直线的距离
）
又因为，故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切．
解法二:
（2）以为直径的圆与直线相切．
证明如下:设点,则
当时,点的坐标为，直线的方程为，
点的坐标为，
此时以为直径的圆与直线相切，
当时直线的方程为，
点D的坐标为,中点的坐标为,故
直线的斜率为,
故直线的方程为,即,
所以点到直线的距离
故以为直径的圆与直线相切．
综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切．（20）（本小题13分）
（1）因为，
所以，.………………………………………………2分
又因为，所以直线的方程为，
所以直线经过定点.……………………………4分
（2）因为，所以.
设，则.
当时，，即在R上单调递增，则最多有一个零点，函数至多有一个极值点，与条件不符；……………………………5分
当时，由，得.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即.…………………6分
令，解得.……………………………7分
因为，，所以，
因为在上单调递增，
所以在上有唯一零点，……………………………8分
当时，；当时，.
所以在上有唯一极值点.……………………………9分
又因为当时，.
设，其中，则，
所以，所以.
即当时，，
而，……………………………10分
因为在上单调递减，
所以在上有唯一零点，
当时，；当时，.
所以在上有唯一极值点.……………………………12分
综上所述，当有两个极值点时，.……………………13分
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