三分钟读懂量子力学：认识薛定谔方程

假如粒子研究不能适合空间和时间，那么它整个目的就失败了，我们就不知道它的作用究竟是什么。——薛定谔

薛定谔方程在量子力学中的地位相当于牛顿第二定律在经典力学中的地位，二者描述的都是事物的运动变化。

牛顿第二定律是表述质点运动的微分方程F=m(d²x/dt²)，而薛定谔方程是描述波函数变化的偏微分方程，它最简单的形式是不含时势（时间和势能）的表达式（-ℏ²/2m）∂²ψ/∂x²=Eψ。

薛定谔

方程的由来

当位置波函数ψ(x)确定之后，根据其系数可以求出动量波函数ψ(p)，从而引出不确定性原理ΔxΔp≥ℏ/2（上一篇内容）。在经典力学中，已知位置和动量，就可以计算一切运动变化，但对于量子力学，还剩下最重要的一个量——能量，它是质点运动唯一可以保持不变的量。为了确定粒子能量的概率波函数ψₑ(x)，于是构造了薛定谔方程。

文章导图

能量波函数

在牛顿力学体系中，已知x和p，则不用再单独进行能量的计算，因为有动量—能量公式E=p²/2m。而微观粒子的能量必须具有概率诠释，根据求动量波函数的方法，可知能量的概率波函数需满足：

ψ(x)=∑Aₑψₑ(x)

Aₑ=∫ ψₑ*(x)ψ(x) dx

接下来最重要的一步就是合理的假设与猜测，为了求解能量波函数，薛定谔根据经典的关系式E=p²/2m，大胆地构建了一个自由粒子的方程：

（-ℏ²/2m）d²ψ/dx²=Eψ

通过解上述方程得到了能量的概率波函数：

ψₑ(x)=Ae^-i(p/ℏ)x + Be^-i(p/ℏ)x，其中p=√2mE。

方程的解很好的符合了实验测量结果以及玻尔的能级理论，根据动量只能取离散值p=2nπℏ/L，便可得到能量也只能取分立值E=(2nπℏ/L)²/2m。

束缚于谐振子势阱的八个不同能级的能量本征波函数(n=0~7)

薛定谔方程

我们的任务不是去发现一些别人还没有发现的东西，而是针对所有人都看见的东西做一些从未有过的思考。——薛定谔

下一个的核心问题是波函数如何随时间变化，也就是把时间加入到概率波函数之中，将ψₑ(x)变为ψₑ(x,t)。薛定谔认识到，首先要建立关于波函数的波动方程，并在时间过程中追踪概率波函数的改变，形式变化需要符合系统的测量结果。经过不断地尝试，在1926年，薛定谔终于得出完整的方程，揭开了量子世界的基本规律。

含时薛定谔方程

薛定谔方程同波函数一样，都是量子力学的基本假设，无法从理论上证明，它的正确性也只能从实验检验。需要明确的是，方程本身是完备的，不存在随机性，也没有任何信息的丢失，只有引入测量时，方程才会随机坍缩为一个可能的解，正因为如此，可能性极小的量子隧穿才会发生，一切才皆有可能。

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