高中数学：统计中的数学思想

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。进行统计分析数据时，往往蕴含着许多数学思想。

 

一、转化与化归思想

统计的基本思想是用样本去估计总体，也就是用有代表性的一部分来估计整体的情况，再由分析得出的整体情况去解决问题。这正体现了转化与化归的思想方法。

例1  北京市某机构要调查2008年北京市高考试题的解答情况，需要对所有参加高考的北京市考生一一进行分析吗？

解：显然不是，因为考生太多，全部分析工作量大，费时长。实际做法是抽取部分考生的解答情况（比如在各区或各类不同学校中抽取），然后估计所有考生的解答情况。

由此可见，从普查（整体）到抽样调查（部分）是社会生活中常用的、省时省力的有效办法，体现出由部分向整体转化的思想方法在统计领域中应用的普遍性。

［点评］在统计中，需要细致地研究样本数据的数字特征，以便对总体做准确的估计。由于样本选取的随机性，会带来样本数据的随机性，但为了研究它，就要尽量的把它转化为确定的问题加以解决。

 

二、数形结合思想

数形结合是统计内容的一个很突出的特点，获取了一个科学样本后，需要对样本数据进行整理分析，为了使样本的数据特征更直观，我们经常需要做图、读图。通过图看出样本数据的分布状况、数据的变化趋势、变量间的关系，进而估计总体的状况。

例2  如下表中给出5组数据（x，y），从中选出4组使其线性相关系数最大，且保留第1组（－5，－3），那么，应去掉第___________组。

	1	2	3	4	5
	－5	－4	－3	－2	4
	－3	－2	4	－1	6

解：画出散点图，如图所示，应去掉第3组。

［点评］解决此类问题直接从表中不容易观察到，而通过画散点图，借助于图形的直观性可简捷获解。

 

三、分类讨论思想

分类讨论是解决统计问题的一种重要的数学思想，体现在进行抽样调查时，根据不同的样本数据抽取情况选择不同的抽样方法。

例3  某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②。完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（    ）。

（A）分层抽样法，系统抽样法

（B）分层抽样法，简单随机抽样法

（C）系统抽样法，分层抽样法

（D）简单随机抽样法，分层抽样法

解：此题为抽样方法的选取问题。当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样。依据题意，第①项调查应采用分层抽样法，第②项调查应采用简单随机抽样法。故选B。

［点评］采用什么样的抽样方法要依据所研究总体中的个体情况来定，这里充分体现了分类讨论思想的应用。

▍ 来源：综合网络