中考数学“几何最值的计算”题型解析

几何最值的计算是考试中的一个难点，解决此类计算一般可借助以下定理：

（1）利用轴对称转化为：（将两点之间的折线转化为两点之间的直线段）

两点之间的距离——两点之间，线段最短；

（2）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）利用一点到直线的距离：

垂线段最短——将点到直线的折线段转化为点到直线的垂线段；

（4）利用特殊角度（30°，45°，60°）将成倍数的线段转化为首尾相连的折线段，在转化为两点之间的直线段最短；

（5）找临界的特殊情况，确定最大值和最小值 .

因此，在以上定理的基础之上，关键在于特征的转换，减少变量，从而快速高效率解题 .

该类问题的几种常见模型：

一、两点之间线段最短

【例题1】如图，有 A , B , C , D 四个村庄，现准备打一口井，使得水井到四个村庄的距离之和最短，请确定水井的位置 .

【分析】根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，

就要使它在 AD 与 BC 的交点处 .

【解析】如图所示，连接 AD , BC，它们的交点是 E，点 E 就是水井的位置，这一点到 A , B , C , D 四

点的距离之和最小 .

【解题策略】如果不在 E 点，假设在 T 点，那么根据三角形两边之和大于第三边可得到：

AT + DT > AD , 且 CT + BT > CB , 于是 AT + DT + CT + BT > AD + CB .

所以水井所在位置只能在 AD 与 CB 的交点处，才能使其到四个村庄的距离之和最小 .

二、点到直线的距离中垂线段最短

【例题2】如图，在 △ABC 中，点 P 为边 AC 上一动点，若 AB = AC = 5 , BC = 6 ,

则 AP + BP + CP 的最小值是多小？

【分析】若 AP + BP + CP 最小，就是说当 BP 最小时，AP + BP + CP 才最小，

因为无论点 P 在 AC 上的哪一点，AP + CP 都等于 AC .

那么就需要从 B 向 AC 作垂线段，交 AC 于点 P .

先设 AP = x , 再利用勾股定理可得关于 x 的方程，解即可求出 x，

在 Rt△ABP 中，利用勾股定理可求出 BP，那么 AP + BP + CP 的最小值即可求解 .

【解析】过点 B 作 BP⊥AC，垂足为 P，设 AP = x , 则 CP = 5 - x .

【解题策略】将一些定长的线段剔除掉，专注于去考虑变化的线段的取值，

转化为定点到定直线的距离，再利用 “点到直线的距离中，垂线段最短” 来求解 .

三、利用轴对称图形

【例题3】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 5 , AD = 3 , 动点 P 满足 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD，

则点 P 到 A 、B 两点距离之和 PA + PB 的最小值是多少？

【分析】首先由 S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD，得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l

上，作 A 关于直线 l 的对称点 E , 连接 AE 、BE，则 BE 就是所求的最短距离.

然后在直角三角形 ABE 中，由勾股定理求得 BE 的值，即 PA + PB 的最小值 .

【解析】设 △ABP 中 AB 边上的高是 h ,

∵ S△PAB = 1/3 S矩形 ABCD，

∴ 1/2 AB ▪ h = 1/3 AB ▪ BC ,

∴ h = 2/3 BC = 2/3 × 3 = 2 .

∴ 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E ,

连接 AE 、BE，则 BE 就是所求的最短距离.

在 Rt△ABE 中，

∵ AB = 5 , AE = 2 + 2 = 4 ,

即 PA + PB 的最小值是 √41 .

【解题策略】本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，

两点之间线段最短的性质，得出动点 P 所在的位置是解题的关键 .