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今天课间，偶得一道八年级数学期末考试的“压轴小题”，题目不错，很有“几何味道”。 题目是坐标系背景下的几何动点问题，有些难度，估计很多学生考场上难以下手。我坐下来，给出两种解法，仍觉意犹未尽，现在及时记录下来，作电子留存，以便我的学生阅读学习，也欢迎教师朋友给出更多解法。 题目：在平面直角坐标系中，C（0,4），K（2，0），A是X轴上的一个动点，连接AC,将AC绕着A顺时针旋转90°得到AB,当A点在X轴上运动的过程中，BK取最小值时，点B的坐标为_________ 先来分析条件，并产生“合理想象”： ①旋转可得等腰三角形，旋转90°可得等腰直角三角形，本题如果从B引X轴的垂线，就可以得到“一线三等角”全等； ②关注题中的数据，有很多直角三角形，计算考虑使用勾股定理； ③几何最值，常常考虑“垂线段最短”等几何依据； ④如果数量关系是一元二次形式，考虑配方法求最值； ⑤几何最值，几何处理常常要有“轨迹”意识，哪些点是“主动点”哪些是“从动点”，进一步升格到“种瓜得瓜种豆得豆”的“因果处理”…… 方法1：设A（a,0），BD⊥x轴，“一线三等角”染色三角形全等，AD=OC=4,继而可以表示AK=2-a;而KD=AD-AK=2+a.在直角三角形△BDK中，勾股定理表示出BK=BD+DK,配方法可以得到当a=-1时，BK取最小值。再作出a=-1时的图形，求出B点坐标即可。 方法2：处理几何最值问题，我有好多心得，不妨分享给大家，那就是一定要有“轨迹思维”！明白图形“因何而动”，“谁主动”“谁被动”！ ①显然本题，由于A点在X轴动来动去，从而带动AC动，AC旋转得AB从而引发AB“被动”， ②继而最终引发BK的“动”，且BK有最小值。 ③而K是不动死点，所以最终我们要关注B点是怎样“动”的。 ④而这一切都源于始作俑者A点的“动”，所以A点和B点是“父子关系”——种瓜得瓜种豆得豆！ ⑤A点在X轴动，A点的轨迹是“直线”，所以“父子关系”可知B点轨迹也应该是“直线”！这就是“瓜豆原理”，“轨迹遗传”！ ⑥根据上述分析，结合上图，显然可知B点的轨迹是直线。下面的问题是，如何求出这条直线的解析式呢？我们知道“两点确定一条直线”，只需要算出两个“特殊点”的坐标即可： ⑦万事俱备，根据“垂线段最短”，当KB⊥轨迹线时候，KB最短。 ⑧至此，B点“定位”的事情处理好了，剩下的就是“定量”计算求B点坐标了，根据轨迹直线y=x-4,它的“斜率为1”与轴夹角45°，很容易计算B点坐标为（3，-1），在此不表。 |
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