数学和哲学：一头一尾的两门学科

一、为什么数学是“有底”的学问？

我们常常讲科学没有穷尽。一方面，我们对科学的了解是越来越多，因此认知没有穷尽；另一方面，无论是物理、化学还是生物，随着我们了解的深入，这些学科的基础越挖越深，往下的研究也越精深。

比如，人类通过布朗运动了解了分子之后，又了解了原子、夸克，希格斯玻色子，这些是不断往下的过程。

但是数学则不同，我们对它的了解也是越来越多，但它的基础却并不会越挖越深。一个数学的分支，基础一旦建立起来，就几乎不会改变。比如，今天，我们不可能在几何公理之下，再建立更深的基础。也就是说，数学已经到底了。

数学的这个特点，我们称之为“止于公理”。公理就是最底层的基础，在公理之上，数学完全是理性的。但有趣的是，理性的数学家们对公理的态度，更像是一种信仰。

这一点反倒是和哲学有很大相似性，因为哲学也是建立在对世界本原认识的基础之上。数学如果是最基础的学科，哲学就是最顶头的学科。

二、数学如何影响哲学？

今天世界上完善的、能够自洽的哲学体系，大多诞生在科学启蒙时代之后。而这不得不感谢使用了数学的思维，其中最有代表性的人物是笛卡尔和莱布尼茨。他们的哲学体系，虽然大家未必赞同，但是都不得不佩服其完备而前后自洽之处。

事实上，这两位学问大家在哲学上的名气一点不亚于他们在数学上的。他们的思想，特别是笛卡尔，在今天对人类都依然有巨大影响。

笛卡尔最有名的著作是《谈谈方法》。在认知层面，笛卡尔回答了两个问题，首先人是如何获得知识的，其次人能否通过自身努力获得知识。

在笛卡尔的时代，人们通常认为知识来源于上帝的启示，或者生活的经验。前者我们今天都知道听起来就很荒唐，今天已经没人相信了。对于后者，这其实是我们今天所说的直接经验的来源。

但是，靠经验的积累有两大问题，一个是来得太慢，更糟糕的是直接经验常常不可靠。

比如你看到太阳东升西落，直接经验就告诉你它是围绕地球转动的。你看到鸟振动翅膀可以飞翔，就本能地要设计能够振翼的飞机。你想到人通过推理下围棋，就试图模仿人建构人工智能。今天我们知道这些很荒唐。但是直接经验常常会得出这样的结论。

笛卡尔的贡献在于，告诉人类要通过理性过滤直接经验，然后才能获得知识。这句话的另一种表述就是通过理性的推理，实现去伪存真。

笛卡尔所说的理性可以分为两个层面，第一个层面是今天所谓的实证，这是今天科学研究的基础方法。但是，笛卡尔认为这还很不够，因为实验看到的可能只是表象，因此还需要有第二个层面的理性。就是要用符合逻辑的数学的方法，代替依靠测量的物理的方法，获得真知。

当然，依靠理性获得新知的前提是人能够具有理性。笛卡尔在哲学上的另一大贡献在于他肯定了人生而具有理性，并且有能力利用逻辑进行推理。因此，笛卡尔认为，人只要把自己的工作方法由简单的依靠经验上升到理性思考，就能创造出新知。

后来，亚当·斯密把这个假设推广到了经济学领域。它最基础的假设就是，人能够通过计算和推理，清楚自己的利益所在。

虽然笛卡尔自己没有发现多少自然科学的新知，但是后人遵循他这种哲学思想做事情，就使得科学获得了极大发展。

这种依靠理性或者数学逻辑获得自然科学知识的做法影响深远。当然，今天有了大数据，我们有可能通过不同维度回望一个事物，起到去伪存真的作用，而不是仅仅靠人的理性。

如果说笛卡尔的哲学思想介于唯物论和唯心论之间，那么莱布尼茨的思想则是彻底唯心的。

第一个是相对的因果时空观。在莱布尼茨之前的伽利略，以及和他同时代的牛顿，都认为时间和空间是绝对的。但是莱布尼茨却认为只有上帝是绝对的，时间不可能有绝对的先后，但是有前后的因果关系。

比如你不可能穿越回清朝，这样就会出现先有你还是先有你爸爸的矛盾。只要不违反因果关系，时间是可以拉长或者缩短的。这其实是把数学上的因果关系拓展到了哲学层面。当然后来爱因斯坦提出相对论，证明相对的因果时空观，要比伽利略和牛顿的绝对时空观更合理一些。

第二个是对离散的世界的理解。虽然莱布尼茨同牛顿一起发明了微积分，他承认世界的连续性，但是他一生致力于用离散的方法来解决问题和解释世界。从二进制，到符号学，再到物质四特征（即不可分割性、封闭性、统一性和道德性），都说明他对世界离散，不连续的看法。

从世界的离散性假设，利用数学上的逻辑，莱布尼茨得到了很多有趣的结论。他的这些思想启发人们发明了离散数学和量子力学。

无论是笛卡尔，还是莱布尼茨（以及很多大学问家），其实都是用到了数学中建立公理化体系的方法，建立自己的哲学体系。而那些数学方法，一旦上升到哲学层面，就成为了在认知上通用的方法，并且对世界形成了更大的影响力。

从笛卡尔和莱布尼茨开始，进入到了理性时代。这种趋势，直到19世纪末，叔本华和尼采等人在哲学上开始质疑纯粹理性为止。因此，如果我们说数学透露了一种哲学之道，是不过分的。

三、哲学对数学的影响是什么？

在历史上，缺乏哲学修养的人，学习数学最好的结果，也只能成为一般的数学工作者，成不了数学大家。

为什么哲学对数学（和自然科学）这么重要？因为哲学讲的是关于宇宙万物的本质，它们之间最普遍、最一般的规律，以及整个宇宙的统一。套用《西方哲学史》一书的作者罗素的观点，整个德国古典哲学，就是试图构建位于科学和其他知识之上的大一统体系，形成一个没有矛盾的知识体系。

这一点深深影响了从希尔伯特到爱因斯坦的一批顶级数学家和科学家。前者试图构建一个大一统的数学体系，后者则致力于构建完美的物理学体系。虽然希尔伯特的努力被哥德尔证明是徒劳的，而爱因斯坦的设想至今也还没有实现。但是，数学和科学各个分支之间在方法上却具有相通性和普适性，这些通用的方法常常让很多学科同时受益。

对于一个平庸的数学家，思考不思考哲学问题影响并不大，反正从事的都是补足数学中知识点的工作，并不需要进行高层次的创作与研究。

类似的，如果我们仅仅像古希腊奴隶那样为了谋生而学习，掌握一点技能也就够了。但是如果我们是像苏格拉底那样把自己看成主人，以这个态度来学习，来做事情，我们就需要在认知层面有所提高，了解数学和哲学都可以帮助我们做到这一点。

四、一头一尾两门学科

如果我们把自然科学、数学和哲学的层次简化成一张图，数学是基础，上面有各种自然科学，最顶上则又有哲学。

我们通常会觉得这一头一尾的数学和哲学是没有实际用途的，中间可以实用的自然科学才值得我们去学习。但是，无用之用，方为大用。一个人只有在深刻理解了人类知识的普遍性原理之后，才能站在一个制高点往下俯视。这也是数学和哲学的共同之处。