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以数学文化为载体渗透高中数学隐性知识 ——以人教A 版高中数学教材选修2

 GXF360 2019-12-27

一、引言

(一)隐性知识

世界经济组织(OECD)在《以知识为基础的经济》的报告中,将知识分为四类:关于事实的知识(Knowwhat),关于原理的知识(Know-why),关于如何做好知识(Know-how),关于信息、来源的知识(Know-who).将前二类称为显性知识(explicit knowledge),后二类称为隐性知识(tact knowledge).[1]

为了更好地学习隐性知识,相应地把隐性知识分为易于显性化和不易显性化两大类.心理学上已经有证据表明,内隐学习在一定程度上具有可理解特性.[2]这就为隐性知识显性化提供了理论基础.

中学数学中的隐性知识包括课本上没有提及的基本知识;基本思想方法;基本活动经验及经历过程中的感受等方面的获得等.数学教师在教学过程中应充分重视学生对隐性知识的学习,因为,让学生掌握数学的本质是教学良性发展的保障.

(二)数学文化

“数学文化”一词的内涵,简单说,是指数学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展;广泛些说,除上述内涵以外,还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等.[3]数学文化无论对于深刻认识作为科学的数学本身,还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义.

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》中对高中数学课程性质的定位写道:“数学承载着思想文化,是人类文明的重要组成部分.”数学文化是在数学知识的发展过程中形成和沉淀的.将“数学文化”这一要素加入中学数学教育教学中,有利于学生更好地了解与理解数学.

采用SPSS 18.0统计学软件进行统计学分析,血清CysC、RBP4水平服从正态分布,采用(均数±标准差)表示,病例组与对照组采用t检验,诊断效应比较采用检验,P<0.05为差异有统计学意义。

关于怎样“提升学生的数学素养,引导学生学会用数学的眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界.”这一问题已经成为数学教育行业热议的问题.在数学课程中“突出数学主线”,凸显数学的内在逻辑和思想方法;精选课程内容,处理好数学核心素养与知识技能之间的关系,强调数学与生活以及其他学科的联系,提升学生应用数学解决实际问题的能力.同时注重数学文化的“渗透”,那么,关于“怎样学好数学”和“数学知识的来源”这两类属于数学隐性知识的部分,就可以作为凸显数学的内在逻辑和思想方法的载体,在数学课程中是必要的,也是非常值得教育工作者进行研究的.

(三)以数学文化为载体,渗透高中数学隐性知识的重要性

一个好的数学教师的标准之一,就是把教材中没有编写出来的数学知识(隐性知识)教授给学生,在高中阶段以“数学文化”为载体去渗透数学知识,具有很好的可执行性.从学生的角度看,一方面,学生在了解数学知识的形成、发展过程中,可以更透彻地了解所学知识,从而树立学好数学的信心,喜欢上数学.另一方面,高中作为与大学衔接的阶段,数学作为科学的“皇后”,大多数数学知识理论的形成与发展,是在各个学科的发展过程中根据需要逐渐形成的.通过数学文化的渗透,学生可以了解到自己感兴趣的地方,进而为继续学习做好铺垫.从教师的角度看,一方面,在教学活动过程中,“教什么”要比“怎么教”重要,因为教学内容决定教学形式,教师如果在教学计划中将教材里的隐性知识同教学内容融会贯通,对于数学教学会是一个质的飞跃.另外,“给学生一杯水,老师要有一桶水”.教师在数学隐性知识显性化的过程中,自己必然要了解得更多,站在更高的知识角度,尽可能去发掘数学知识中的隐性知识,并且将这些知识以恰当的方式呈现给学生.这对于教师来讲,是一个成长过程.另一方面,在课堂中,穿插讲授数学文化,可以增强数学课的趣味性,提高课堂教学效率,从而达到事半功倍的效果.

二、教材中与椭圆有关的知识点

本文从人教版A版高中数学教材选修2-1第二章圆锥曲线方程“椭圆”这节内容出发,以从课本中发现本节课存在的“隐性知识”为出发点,以“数学文化”为载体来补充椭圆的教学知识.

沿着HBSP传输数据包能够减少端到端传输时延,并且防止数据包到达空洞边界,缓解了局部最小问题。然而,如果所有数据包沿着HBSP传输,则增加了边界网络区域的负载,如图1(b)所示。

(一)教材中的知识安排

从本节人教版教材编写的顺序来看,将“椭圆”安排在选修中,继必修二学习过在坐标系下建立直线与圆的方程,以及在本章节的第一节研究了一般曲线与方程的关系之后,引入椭圆及其标准方程和其简单的几何性质.

其中,装药比ξ1=mex/(mpb+M0)。该模型相当于不区分第1和第2个阶段,因此第2阶段的瞬时速度v1=v0。

教材以一个探究的旁白(如图1)引入椭圆的第一定义,根据所得的椭圆几何特征来选择适当的坐标系,建立椭圆的方程,进而给出了椭圆的标准方程:1(ab >0)或=1(ab >0).在给出椭圆标准方程后,教材以标准方程:=1(ab >0)为例来研究椭圆的几何性质.

图1

(二)教材知识内容的局限性

教师设计教学进程,往往逃脱不了教材的限制,可借助多媒体展示天体中行星或者卫星的运动轨迹引入椭圆的概念.通过实验或课件演示教材中椭圆的形成,将椭圆从现实生活拉到数学世界.接着教师根据教材中所给出来的椭圆的第一定义,引导学生运用第一节所学的求一般曲线的方法来得到椭圆的标准方程,万变不离其宗.

但从学生对椭圆的理解程度来看,其并没有很好地理解椭圆的“本质”,只是单纯地识记了标准方程=1(ab >0)和一些简单的性质.2008 年,浙江高考理科数学第10题困扰了许多学生,这也说明了学生对椭圆存在着本质上理解的不足.

如图2,AB 是平面α 的斜线段;A 为斜足,若点P 在平面α 内运动,使得ΔABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( ).

图2

A.圆 B.椭圆

C.一条直线 D.两条平行线

解决这道题的关键是到直线AB 的距离为定值的点的轨迹是圆柱面,而圆柱面被斜平面所截的截线当然是椭圆.这就暴露了教材中没有明确讲出圆锥曲线最初是由圆锥或圆柱的截面得到的,学生头脑中并没有将椭圆的生活表象与椭圆的解析几何表象联系起来.[4]

三、对“椭圆”中隐性知识的挖掘

(一)隐性知识:圆锥曲线的起源

关于圆锥曲线的起源有两种说法,一种是在制作日晷中(如图3 所示),随着太阳的移动,圆形晷盘上晷针影子尖端形成的曲线就是圆锥曲线.另一种说法与“倍立方”问题有关,公元前5世纪,古希腊数学家希波克拉底将“倍立方”问题归结为求二次比的问题:对一个棱长为a 的立方体,在a 和2a 之间确定xy,使得a:x= x:y=y:2a.用现在的数学语言来讲,就是要同时解下面三个方程中的两个:x2= ayy2=2axxy=2a2,前两个是抛物线方程,第三个是双曲线方程.[5]

圆锥曲线出现在公元前4世纪,柏拉图学派的梅内克缪斯在解决“倍立方”问题时研究了圆锥曲线的性质.他用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、直角和钝角的正圆锥,得到椭圆、抛物线和双曲线的一支(如图4所示).

图3

图4

再来看教材章节开头目录中的图片(如图5 所示),这其实就是阿波罗尼斯(Apollonius,约公元前262-公元前190)所定义的圆锥曲线,他将圆锥曲线定义为:用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线.在他的著作《圆锥曲线论》中,圆锥曲线也称为“圆锥截线”,严格来讲,被截的圆锥面有正圆锥面或斜圆锥面,得到的交线除了圆、椭圆、双曲线和抛物线外,还包含三种退化情形(一条直线、一个点、两条相交直线).

图5

关于阿波罗尼斯,他是第一个依据同一个(正的或是斜的)圆锥的截面来研究圆锥曲线理论的人,也是第一个发现双曲线有两支的人.其所著的《圆锥曲线论》(Conic Sections)共八篇,最后一篇已失传.前三篇主要是欧几里得关于圆锥曲线的失传著作的内容,包括梅内克缪斯(Menaechmus,约公元前380-公元前320)和阿基米德(Archimedes,公元前287-公元前212)在这方面的工作.阿波罗尼斯在前人的基础上去粗取精,按照欧几里得《几何原本》公理演绎的方式组织内容,使知识系统化.《圆锥曲线论》含有许多独到和新颖的创造性材料,几乎网罗了圆锥曲线的性质.阿波罗尼斯将欧几里得的几何论证水平发展到极致,使《圆锥曲线论》成为数学史上的一座丰碑,他本人也被称为古希腊“伟大的几何学家”.[6]

经过长期的实践,美国的历史游径、历史公园等从规划建设到运营维护,均充分发挥了公众参与的优势,一方面增加了建设和维护资金来源,减轻了政府的财政压力;另一方面通过建立与公众和企业的良好合作关系,实现了公共服务设施的长线运营和可持续发展,降低了维护的成本和损耗的风险,其中标识系统由于数量较多、制作简单和形式多样,是便于公众和社会力量介入的载体之一。以韦弗利镇历史游径标识系统为例,政府大力鼓励居民出资众筹建设标识,捐助费用可用于包括标识牌内容设计、标识牌制作和安装等。为更好的促进公众参与,标识的内容和位置在条件允许的情况下,尽可能满足认捐人的需求,如署名或广告推广等[10]。

在此之后,古希腊后期的数学家帕普斯(Pappus,公元3 世纪末)在他的《数学汇编》中证明了椭圆、双曲线和抛物线的焦点-准线性质:到一定点(焦点)及定直线(准线)的距离成一定比例的一切点的轨迹是一圆锥曲线.[5]即我们现在说的圆锥曲线的第二定义或统一定义.

(二)椭圆及其标准方程

1.椭圆定义中的隐性知识

教材中所给的探究旁白中的作图方法其实是16 世纪初,意大利数学家蒙特与后来的荷兰数学家舒腾所做椭圆的方法.在这一阶段,人们认识到圆锥曲线并不只是依附在圆锥面上的静态曲线,也是自然界物体运动的普遍形式.德国天文学家开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行,并发现了圆锥曲线的焦点和离心率.[7]在这段时期里,坐标系与解析几何并未出现.

17世纪解析几何出现之后,法国数学家洛必达抛弃了古希腊人的定义方法,将椭圆定义为在平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹(也就是教材中的椭圆定义),并据此推导出了椭圆方程.

2.椭圆的标准方程中的隐性知识

教材中所给出的椭圆标准方程的推导是基于坐标系下的推导方法.而在对椭圆方程的探究过程中,许多数学爱好者给出了更为自然的推导方法,我们有必要对其进行了解.

(1)教材中椭圆标准方程的推导

根据椭圆的几何特征,类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程.选择适当的坐标系,建立椭圆方程.

(2)椭圆方程推导中的隐性知识:椭圆发展过程中的四种推导方法

①余弦定理推导方法

如图6所示,设|PF2|= z,因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|=2a - z.

图6

由余弦定理得(2a - z)2= z2+4c2 -4czcosθ= z2 +4c2 -4c(c - x).

解得:z=

将采取预防措施后仍发生静脉炎的患者分为两组,研究2组应用喜辽妥与湿润烧伤膏交替外敷,每日两次;对照2组每天外敷新鲜土豆片,每日两次。

对学习效果进行评价,是教师发挥主导作用不可或缺的部分。目前最为科学的评价方式是把形成性评价与终结性评价结合起来。因为,任何学业的完成都必须经历必要的过程,职业道德、职业意识和职业能力更要在一定的过程中体现。终结性评价与形成性评价相结合,才是对学生真实、全面、准确、客观的评价。

由勾股定理得z2== y2 +(c - x)2

若该节点随机从最大速度vmax和最小速度vmin之间选取某一个值作为运动速度,并随机从[0,2仔 ]中选取某一个值作为运动方向,那么转移分布P(mk|mk-1)便形成了一个以mk-1为圆心,vmin为内半径,vmax为外半径的圆环,表示如下:

整理得a2y2 + b2x2= a2b2=1.

为提高预测(分类)精度,降低误差,集成学习一般在降低平方偏差和模型方差两个方面开展工作。但是,一般来说,简单模型具有高偏差和低方差,而复杂模型倾向于具有低偏差和高方差[18]。

②利用椭圆第二定义进行推导——离心率

如图7 所示,设=e,|A B |=2a=2ae,点P(xy)的坐标满足|PF1|2=e2|PR|2(ae+x)2+y2=e2,整理得=1,记b2=a2(1-e2)即得=1.

图7

3.椭圆简单几何性质中的隐性知识

在这一块讲到椭圆的离心率——我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率,用e表示时,结合探究旁白中“ 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗?为什么?”来思考为什么要用e= 来表示椭圆的离心率.

第5(a)(3)条规定,美国总统对确定故意从事以下活动的人实施制裁:1)向伊朗出售或提供单次超过100万美元或12个月之内超过500万美元公允市场价值的石油化工产品;2)向伊朗出售、租赁或提供能够直接或显著增强伊朗方面进口石油化工产品能力的货物、服务、技术、信息或支持。此种情况适用在伊朗投资修建炼油厂及提供技术服务等行为。

对于这个问题,的大小可以用来刻画椭圆的扁平程度,但相对于来说更具有优势.我们知道椭圆是平面内到两定点的距离值和为常数的点的轨迹.第二定义中涉及的参数是ac,为了保持一致,用来表示椭圆的离心率.

取研碎样品1 g,置于10 mL固相微萃取仪采样瓶中,插入装有纤维头的手动进样器,于100 ℃条件下顶空萃取40 min,快速移出萃取头并立即插入气相色谱仪进样口(温度250 ℃)中,热解析5 min进样。

另外,圆锥曲线的统一定义为:“到定点距离与到直线距离之比为常数”,而这个常数的值恰好是,所以用表示离心率更具有统一性.

老砍头带了两名高手去找越秀。这两名高手,分别叫狗皮道人和五趾上人。狗皮道人喜欢吃狗肉,杀一条狗,就把皮剥下来披在身上,一年到头都这样。五趾上人两只脚共有五个脚趾头,就这五个脚趾头,踢死上百名江湖豪客。

4.教材例题中存在的隐性知识

在讲述完本节课知识点后,教材中例5 的设计隐含了椭圆的光学性质(是指由椭圆一焦点射出的光线经过椭圆内壁反射后,必经过另一焦点,其等价于:椭圆上任意点的切线与两焦半径所成夹角相同),例6隐含了椭圆的第二定义.教师在讲例题的过程中,可以结合例题,将题后所隐含的知识讲给学生听,为学生在接下来练习过程中思路的开拓奠定基础.

他说没怎么样。楼兰的女儿管我叫爸,我管楼兰的母亲叫妈。我们就像一家人般亲密,事实上这段时间,我们就是一家人。老人暂时也没有讹我,既没有让我抚养她的外孙女,也没有黑我的那套房子。不过说不准她现在还没到讹我的时间,我也不会有她永远不会讹我的证据……楼兰按时吃药,按时喝水,按时睡觉,按时醒来,按时打吊针,按时花钱,按时呻吟,按时死去,按时火化,按时下葬,就这样……

5.“椭圆”知识体系中隐含的数学思想方法

高水平教师在教学活动中往往会对教学内容进行“点睛”——结合教学内容体现相应的数学思想方法.在“椭圆”的教学过程中,体现了分类与整合思想、函数方程思想、数形结合思想以及转化思想.在教学过程中进行数学思想方法隐性知识的渗透,无疑可以帮助学生更好地掌握知识的本质,学好数学.

四、小结

综合来讲,从教材中发现数学隐性知识,以“数学文化”为载体对教材中的隐性知识进行挖掘,可以对教材中知识讲授的顺序做一个“发生过程”的补充,使知识看起来更为连贯,学生接受起来也没有那么生硬.高水平的教师,能够透过现象看到本质,在教授教材中显性知识的同时,能挖掘出其后的隐性知识.此时,教师的身上自然散发着一种独特的数学光华与气息,携自身的全部数学涵养融入教室,融入课堂,融入学生,学生由此汲取数学的丰富营养.[8]

[参考文献]

[1]陈淑彬.隐性知识显性化在数学教学中的作用[J].科技信息,2009(21):637.

[2]高湘萍.隐性知识的获得及其显性化的心理途径[J].全球教育展望,2003(8):27-29.

[3]顾沛.数学文化[M].北京:高等教育出版社,2008.

[4]王芳,汪晓勤.HPM 视角下椭圆概念教学的意义[J].中学数学月刊,2012(4):57-60.

[5]邹佳晨.椭圆的历史与教学[D].上海:华东师范大学,2010.

[6]王海青,李晓波.从阿波罗尼斯到柯西:“圆锥曲线”研究方法的变迁[J].数学通报,2018(10):26-31.

[7]汪晓勤.椭圆方程之旅[J].数学通报,2013(4):52-56.

[8]李祎.高水平数学教学到底该教什么[J].数学教育学报,2014(6):31-35.

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