最强数学父子档(一)——嘉当父子

数学史上子承父业的佳话时有流传，这方面最早的例子可能属于伟大的伯努利家族。而在现代数学高歌猛进的发展历程中，也出现了强大的父子档，他们分别是法国的嘉当父子和德(美)国的阿廷父子。嘉当和阿廷的鼎鼎大名在数学界内可谓无人不知无人不晓，而他们的儿子子承父业之后仍然做出了巨大的贡献，成为各自领域的核心人物，并且都荣获过数学最高奖之一的沃尔夫数学奖。我们将分几次分别介绍这两对父子的光辉数学人生，限于篇幅，我们首先将分两次介绍大小嘉当父子，而今天的主角便是嘉当父子中的老嘉当。

埃利·嘉当

埃利·约瑟夫·嘉当(EIie Joseph Cartan，1869年4月9日——1951年5月6日)出生在阿尔卑斯山附近的小村庄，父亲是当地铁匠，家境并不算太好，但所幸嘉当从小天资过人，学习能力非常突出，因此颇受当地贵族的赏识，幸而可以得到资助以及奖学金完成学业。嘉当还有几个兄弟姐妹，不过都没有他这种天分，他的大哥子承父业，继承了父亲的铁匠铺，姐妹也只是嫁人当了普通家庭妇女，尽管弟弟跟随嘉当的脚步学习，后来也只是当了一名普通的老师。1887年，嘉当凭借优异的成绩来到巴黎，不过最开始他是学自然科学的，第二年才到巴黎高师学起了数学，先后听过埃尔米特，达布，皮卡和庞加莱等世界著名数学大师的课程，从中收获非常多，按嘉当自己的说法，这些大师们的谆谆教诲决定了他的整个数学生涯。

1891年嘉当从巴黎高师本科毕业后应征入伍，在军队呆了一年，1892年又回到巴黎高师，在达布的指导下继续攻读数学博士。这一年也成为了嘉当数学生涯的转折点，因为李群理论的创始人索福斯·李恰在这一年来到了巴黎。在此之前，嘉当已经在研究单李代数的分类问题，但苦于无人可交流讨论，李的到来对嘉当来说如同天降甘霖一般，他在李身上学到了很多。

我们都知道此时的法国数学正沉浸在自己的“函数论王国”世界之中，大批数学家都集中在这一古老领域而对新兴的数学学科不感兴趣，加之遭受第一次世界大战的重创，法国数学在嘉当活跃的年代里已经被德国甩在身后了。到了20世纪30年代，法国数学已变得单一而落后，年轻数学家们对新东西几乎一无所知，例如当时的德国哥廷根学派在诺特和阿廷(正是我们之后文章的主人公)的带领下，正在抽象代数上高歌猛进，而法国的年轻数学家们几乎从未听说过“环”这样的代数概念。法国数学的落后局面引发了一批年轻人的不满，这才有了后来著名的布尔巴基学派，而嘉当的儿子小嘉当正是其核心人物之一。

诺特

我们总说嘉当是如同魏尔斯特拉斯那样“大器晚成”的数学家，但嘉当的情形又不一样，他很早就在数学上取得了重要成就，但如同上文所说，嘉当研究的数学在当时的法国并不受待见，直到嘉当晚年他的成果被广泛传播以及重要性得以确认之后，他在数学界的地位才得以飞速上升，成为整个20世纪最伟大的数学家之一。由此我们不得不佩服嘉当过人的勇气和毅力，他在很长一段时间内几乎以一人之力在孤立的环境下进行数学研究，并且彻底改变了李群李代数以及微分几何的学科面貌。特别要提到的是，著名华人数学大师陈省身正是嘉当的得意弟子，后者彻底继承了他的数学思想并发扬光大，深刻影响了之后微分几何的发展。

嘉当是继高斯和黎曼之后的又一位微分几何大师，杨振宁老先生在称赞陈省身时也曾说过：“千古寸心事，欧高黎嘉陈”，由此可见，嘉当的地位的确非常崇高。

数学贡献

嘉当一生涉猎过的数学领域十分广泛，主要集中于李群李代数，围绕李群理论又深入研究了微分几何以及偏微分方程等领域。

嘉当的第一个重要工作是在1894年博士毕业的时候完成的，他得到了复数域上单李代数的完全分类，在此之前，德国数学家基灵研究过分类问题，但他的证明存在错误，同时一些结论也含糊不清，嘉当在基灵的基础上彻底弄清了它们之间的关系，解决了这个难题。不过谈到这里也要为基灵说上几句公道话，由于嘉当后来的名气太大，以至于很多基灵本人提出来的概念和结论最后都被数学界冠以嘉当的名号，这一点确实有点冤。

尽管李群是李提出的，但他的想法是在解析流形上考虑参数变换，带来的后果是把思想都隐藏在了复杂的计算表达式中而难以再发展，而到了嘉当这里，他明确把李群当做满足变换条件带有参数的元素集合，摆脱作为底层空间的解析流形所带来的束缚，有了这样的观点后，李群在嘉当手中才得以快速发展。可以肯定的说，嘉当是李群李代数现代理论的奠基人，没有嘉当就没有如今的李群理论。

嘉当在完成复单李代数的完全分类工作时，也解决了实单李代数的分类以及单李代数的不可约表示论问题，特别的，在此过程中，他引入了旋量的概念，这个概念在之后量子力学的发展方程中起到了重要作用。

在李群的研究中大量使用微分形式也是嘉当的一大创举，借此嘉当又开辟了流形上分析学，并且大力发展活动标架法，自此微分几何的面貌又焕然一新。活动标架法极大地克服了传统固定坐标系所带来的巨大阻碍，使得很多困难的几何问题变得容易解决，尤其是陈省身利用活动标架法给出高斯-博内特定理高维情形的内蕴证明后，整体微分几何取得了跨越式的进展。

但实际上，嘉当对微分几何最大的贡献并不是活动标架法，而是他系统地利用李群李代数理论开创了黎曼对称空间的研究。可以说，黎曼对称空间理论开拓，发展和完善基本上都要归功于嘉当一人，这在整个数学史都是罕见的壮举。对称空间比常曲率空间要更一般，但又有强烈的限制条件，因此它特别适用于数学和物理的需要，发挥着越来越重要的作用。

对于纤维丛理论的发展，嘉当也做出了巨大贡献，他发展了纤维丛的联络论，推广了流形上的黎曼联络概念，使得微分学的方法在纤维丛上可以继续发挥作用。这些概念方法在如今的数学和理论物理中同样还在发挥日益重要的作用。

嘉当的创举远不止此，例如他还把微分形式的方法引入到了偏微分方程组的研究之中，然后把这些理论深刻地和几何与分析联系起来，取得了一系列深刻结果，这些结果甚至可以用到相对论和统一场论的研究之中。

结语

嘉当是整个20世纪数学史上最具影响力的数学家之一，他彻底改变了李群和微分几何等数学学科的面貌，并且开辟了一系列全新的研究方向。但在很长一段时间内，嘉当的贡献却没有得到应有的重视，但他始终没有自己所研究的数学，这样的苦心孤诣最终造就了一位影响力极其深刻的数学家。嘉当早已离去，但他的成就和精神却长存世间，成为数学文化中最灿烂的一部分。