非零和博弈（纳什均衡）：真的存在共赢吗？

你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。我们上一讲讲了零和的博弈，其核心就是找到平衡点。今天我们来谈谈更难的一类博弈，非零和博弈。

很多人觉得，如果两个人分10000元的利润，各自拿了5000元就是双赢，这是一个对零和博弈的误解，也是对双赢的误解。

事实上，所有零和博弈，都没有双赢的可能性，只有平衡的可能性。今天媒体上常常喜欢用“双赢”这个词，其实它们所说的双赢，90%以上的情形都是达到平衡而已。但是，非零和博弈则可能实现双赢。

双赢到底存在吗？

那么什么是非零和博弈呢？就是双方的得失加起来不是零，也不是个常数的博弈，我们先来看一个著名的例子——囚徒问题。

囚徒问题讲的是这样一件事，假设有两个罪犯X和Y，他们一起做案被抓住，接下来要定他们的罪。为了防止两个人串供，警方将两人分开审讯。如果两个罪犯都认罪，那么由于认罪态度好，刑期不重，只有5年。如果一个罪犯认罪，另一个抵赖，认罪的那个检举有功，无罪释放，而后者态度恶劣，判10年。还有最后一种情况就是，如果两个人都不认罪，两人都判一年。

下表给出了在这个博弈中双方的收益矩阵。由于他们的“收益”是刑期，因此我都用负数来表示。接下来的问题是，X和Y应该选择认罪还是抵赖？

根据我们上一讲的分析，每一个人要找出对方给自己造成最糟糕情况里的相对好的情况，也就是最小值中的最大值。

以X为例，他要考虑Y可能的策略。如果Y选择认罪，那X最好的情况是判5年，最坏的情况是判10年。如果Y选择抵赖，X不管怎么选择，最坏的情况不过是被判一年，比前一种情况好。因此，根据挑选最坏中的最好的原则，就是考虑到Y会认罪，而他的策略就是也认罪。类似的，Y也应该这么思考，于是他也会选择认罪。这样，双方都认罪就是上一讲提到的平衡点，都被判刑5年。

由于非零和博弈的平衡点问题最早是被纳什解决的，因此它也被称为“纳什均衡点”，它就相当于我们上一讲在零和博弈中讲到的马鞍点。在这种非零和博弈难题中，找到纳什均衡点就是最安全的解决办法。

讲到这里，你可能会说，不对啊，这个问题不是还有双赢的结果么？两个人都抵赖，不就是双赢么？这个说法没有错，但前提是双方要有默契，相互配合。如果一方不配合，对方就会有很大的损失。

因此，双赢点是大家主观上想达成的目标，但现实中客观的结局常常是纳什均衡点，也就是双输的结果。实现双赢的前提是彼此有信任，这种情况下的博弈，也被称为合作型博弈，而之前纳什解决的是非合作博弈。

囚徒问题在冷战时被战略家们用来说服美苏双方裁减核武器。我们可以看这样一个场景，如果一方发展核武，对方不发展，发展核武的一方虽然花点钱，损失是1，但是对方受到制约，损失是10。如果双方都发展核武搞军备竞赛，那么成本高，损失大，都损失5，但是这时双方形成了一种均衡。

在冷战时，美苏双方采用的就是这种策略。但是，如果双方能有信任，一同销毁核武，那么就会形成双赢。冷战最后的结局也是如此，美苏双方都不再建造新的核武器了。因此，囚徒问题一直被用来证明双赢的可能性。

想在现实中找均衡点，你得记住这五条：

但是，在现实生活中，双赢的可能性远比大家想象的小很多，因为双赢点在数学上根本不是均衡点，它严重依赖于玩家的表现，玩家通常做不到相互信赖。这里面重要的原因至少有下面五个：

1. 博弈通常不是一次性的，而是反复进行的，长期坚持信任几乎做不到，而一旦一方开始采用不合作的策略，给对方造成巨大损失，对方也会马上调整策略。
2. 博弈论讲的都是阳谋的策略，但是很多时候双方博弈使用的是阴谋。使用阴谋就无法让双方产生信任，而没有信任，均衡点就是双输。一战后美国总统威尔逊在总结大战爆发的原因时发现，秘密外交，搞阴谋是个重要的原因，因此他努力推动国际联盟，目的就是把阴谋变成阳谋。
3. 人类还处于文明的初级阶段，人的道德水准不容高估，很多人并非在主观上想做违反规则的事情，也懂得双赢的道理，但是就是看不惯别人和自己一样好，更不能容忍别人比自己好，于是当他们看到能够在自己损失1，让对方损失10的情况发生，完全干得出这种事。
4. 乌合之众效应。如果是两个人博弈，很容易达成双赢的结果。如果是两个由帮主说了算的帮会，或者独裁国家，这种事也不难做到。但是在两个民主国家之间，或者两个权力分散的机构之间，这种事情就很难达成。世界上有些重大事情，大家都很清楚双赢的点在哪里，比如全球贸易、均衡发展、消除贫困和疾病，但是在这方面很难达成一致，而且就算短期达成一致，各方也很难遵守。原因是博弈的各方不是一个人，而是每一方自身内部有各种利益冲突。比如说经济全球化，就意味着一些国家必须放弃一些产业，而那些相关的产业工人就会牵引政客们偏离共赢点。
5. 很多时候看似是双赢，其实是在更大范围内通过零和博弈获利。信息时代针对员工的期权制度便是如此。在之前分配利润的工业时代，劳资双方是零和博弈，因为一方多拿点，另一方就要少一点。但是当下很多企业，通过给员工发放股票期权，只要把企业业绩做上去，期权会自动给员工带来巨大的收益，不用分配利润。这看上去是一个双赢的结果。但实际上它们和资本市场，包括股民，玩的依然是零和博弈。

我是怎么用博弈论的？

理解了零和博弈的这些特点，特别是双赢极其难以达成，并且长期遵守这个事实，我们就可以制定自己感觉舒服，利益得到保障的策略了。大家看我给双赢泼了这么多的冷水，可能会怀疑我是否相信双赢的存在，并且以达成双赢为目的。事实上我是非常喜欢双赢的，并且经常能够和周围人达成双赢。接下来我就分享一下我的体会。

首先，也是最关键的，就是找好你博弈的对象，这里面我说的博弈更多的是合作，不是竞争。我在《硅谷来信》以及在给女儿们的信中反复讲，我对任何人第一次都会相信他们是诚实的，也就是说愿意合作。但是对方只要做一次不诚信的事情，我会永久性地将这个人删除，因为只有在一个合作的环境中才有双赢的可能性。我们不能保证每一个人都是能够达成双赢的对象，但是我们可以选择和谁玩。

很多人会说，如果在某个特定情况下，那个不诚信的人会在某次给你输送巨大的利益，或者提供很多帮助呢？我的结论是，依然不要来往，因为轻易破坏自己的原则，就如同破坏几何学公理一样问题严重。

我从个人生活，到工作，再到这种活动，与合作者通常都是十几年甚至几十年的关系，他们并非完美，但是满足我能达成双赢的条件。很多人找上我，说我们能提供更好的条件，我都一一回绝，背地里的原因是，我在验证了那些人是可以达成双赢的人之前，不会把他们请进我的牌局。

其次，永远不要玩难以达成双赢的游戏，因为出来混总是要还的，人不可能永远在零和博弈中占别人的便宜。

大家听了我这段评论，可能会觉得这是我过去《硅谷来信》的风格，不像是在讲数学。实际上我们以通识为目的讲数学，就是要学习用主人的态度掌握里面的方法精髓，加以利用。

智猪博弈给我们哪些启示？

事实上博弈论对大部分人来讲就是明白博弈和合作的道理，而不是解数学题。博弈论也是一个工具，它能够解释我们看到的很多现象，比如用纳什“智猪博弈”的例子，就能解释为什么一个落后地区的起步总是先要从模仿做起。当初的日本、韩国和台湾地区，以及最近几十年的中国，都是如此。

“智猪博弈”讲的是就是这样一种情形：

假设猪圈里有一只大猪和一只小猪。在猪圈的一头有猪食槽，另一头有一个按钮。按一下按钮，机器立刻会往食槽里倒进10磅猪食。但是，猪每按一次按钮，就要付出消耗2磅食物的成本，而且如果一只猪跑去按按钮，转身再去食槽，一些猪食就会被另一只猪抢先吃掉。

如果大猪去按按钮，因为小猪会等在食槽，它只能吃到6磅食物，小猪吃到4磅；反之，如果小猪去按按钮，等它转身回来时，大猪会吃掉9磅食物，小猪只吃到1磅；当然，两只猪可以同时按，然后转身去吃，这时大小猪各能吃到7磅和3磅。那么两只猪的策略应该是什么样的呢？我们之所以称这两只猪为智猪，是假设它们能算得清账。那结果是怎么样的呢？

「我们把大猪和小猪采用不同策略后的收益总结在下面的表格中，听音频的朋友可以扫一眼文稿中的表格。在表格中，竖着的是大猪的策略，横着的是小猪的策略，每个单元里第一个数值是大猪的收益，第二个是小猪的。

从表格中可以看出，如果大猪去按按钮，小猪如果也去按，那么它能吃到7磅，扣除了两磅的成本，净赚5磅。类似的，小猪在扣除成本后，净赚1磅。这就是第一个单元里两个数值的含义。从第一行的数值可以看出，不讨论小猪采用什么策略，它至少可以获得4磅的收益。

相反，如果它在食槽旁等待，虽然有可能获得9磅的收益，但是可能小猪也在等，结果双方所得都是零，时间一长就会因为吃不到东西而饿死。因此，大猪的最小值中最大值的策略是按按钮。相反，你仔细分析一下，小猪的策略则是应该在食槽旁等待。这样的结果能达到一种双赢，而且恰好是双方博弈的均衡点，因此它是稳定的。这就和前面讲的囚徒问题有所不同了。」

智猪博弈的结论就是，小猪应该等在食槽旁静静等待，如果用在管理学和商业上，就是鼓励小企业和后来者采用搭便车式的跟随策略，而不是投入大量的金钱进行研发。因为如果小企业投入大量资金得到新技术，而大企业也享用技术并利用体量优势竞争，小企业就要垮台。

因此，强调知识产权和专利保护的人，常常用这个例子说明问题，因为没有对知识产权的保护，小企业就不会有活力，从长远来讲，就永远是大企业垄断。

到此为止，我们关于博弈论的内容就讲完了。这些理论可以成为我们的行动指南，但是大家在使用时，千万记住不要生搬硬套，毕竟现实世界的博弈比那几张表格复杂得多。

下一讲，我来回答大家在这个模块的疑问，同时依旧放出五道测试题，看谁是率先给出全部正确答案的5位同学，正确答案会在课程结束时公布。我们下一讲见。——吴军《数学通识五十讲》