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在数学的历史上，有过三次比较重大的危机，第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻，第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间的契合的问题；第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。 第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要精确到一定程度就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理数。但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不满足这个条件。这个证明起来其实很简单，但是对于当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到海里面去了。这就是典型的学术迫害啊。 纸当然是包不住火的，死了一个希帕索斯，自然会有更多的学者发现√2，√3，√5；第一次数学危机使得纯代数的地位下降，几何学的地位上升，因为几何量不能完全由有理数来表示，但数却完全可以用几何量来表示，从而形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，这两个体系在经典数学中就有点相牛顿的三大定律。正是因为这次危机，使得东西方数学体系完全走向不同的路，像中国这样的大国，因为没有这次数学危机，就没能完全形成真正的数学体系，尽管很多方面表现得很优秀。 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。他提出以个悖论： 从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。 柯西 第三次数学危机发生在十九世纪下半部分，第一男主角是群论（集合论）的创立者康托尔，第一反派是大数学家罗素。 康托尔 罗素 集合论真的很牛，但也很简单，记得我第一次看集合论的时候，被它的简单，但功能强大完全惊呆了。像证明自然数和奇数一样多，就是构建两个无穷集合A（自然数），B（奇数）（自然数跟奇数都是无穷集合的），A中任何一个数n都能在B中找到对应的2n+1,反之亦成立，所以A=B。要是用其它数学理论去证明，这得多复杂，但集合论，就这么简单完美地解决了。 但是正当集合论在学术界中影响越来越大时，一个很简单的悖论却差点把它推向了坟墓，通俗点表述这个悖论就是，一个理发师说他只给不给自己理发的人理发，那他是否应该给自己理发？如果他给自己理发，那么他就违背了自己的原则，因为他只给不给自己理发的人理发，但如果他不给自己理发，那他也会违背自己的原则。 第三次危机涉及到了数学理论中最根本的东西，他引发了数学界对最基本的数学原理去进行深入的研究，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。 成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，一是以罗素为代表的逻辑主义学派。二是以布劳威尔（D.Brouwer）为代表的直觉主义学派。三是以希尔伯特为代表的形式主义。而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。 |
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