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新的一年开始了，祝朋友们2020年元旦快乐！今天，数学世界将为大家分享一道初中数学中的几何证明题，此题条件简洁，似乎很简单，但是想要做出来并非易事，需要具备扎实的分析能力。请朋友们先尝试做一做，然后看下面的分析和解答过程，相信大家一定会有收获！ 例题：（初中几何证明题）如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是CD的中点，AE的延长线交BC于点F，FG⊥AB于点G，求证：FG^2=FC·FB．  这是一道证明线段乘积相等的题，实际上就是线段比例式。此题的图形不复杂，已知的条件很平常，它们之间的联系也容易看出来，但是很多学生依然无法得出结论，只能写出几个步骤，就无法继续下去了。其实此题确有一定难度，此题的考查知识点主要有相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等。 在做题时，必须认真分析给出的条件和要证明的结论，将结论变形为线段比例式，灵活运用有关定理进行分析。解决此题的关键是作辅助线构造相似三角形，再证线段相等即可得出结论。下面，猫哥就与大家一起来解决这道例题吧！  证明：延长AC，GF相交于点H， ∵FG⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠FGB=∠FCH=90°， ∵∠1=∠2，（图上所标的对顶角相等） ∴△HCF∽△BGF，（两角对应相等的两个三角形相似） ∴CF/FG＝HF/BF， 即FC·FB=FG·HF，（比例的基本性质） ∵CD⊥AB，FG⊥AB， ∴∠4=∠5=90°， ∴CD∥HG， ∴∠3=∠H， ∵∠3=∠H，∠6=∠6，（图上所标的角） ∴△ACE∽△AHF， ∴AE/AF＝CE/FH， ∵∠4=∠5，∠7=∠7，（图上所标的角） ∴△AED∽△AFG， ∴AE/AF＝DE/GF， ∴CE/FH＝DE/FG，（等量代换） ∵E是CD的中点， ∴CE=DE， ∴FH=FG， ∵FC·FB=FG·HF，（已证） ∴FC·FB=FG·FG， 即FG^2=FC·FB． （完毕） 温馨提示：此文是原创作者猫哥一字一句打出来的，文中难免会出现一些小错误，还请大家谅解！数学世界不追求高难度题目，但一定是经典题型，希望大家喜欢。另外，若朋友们还有不明白的地方或者有更好的解题方法，欢迎留言参与讨论。谢谢！ |
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