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构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

2020-01-05  当以读书...

    相似三角形存在性问题,是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题,这种类型的题目综合性较强,更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法,对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。笔者拟就最新考题为例,从构造角度的角度,解密相似存在性问题。

    我们知道,当题目表述成文字形式的“相似”而不是符号表达的“∽”,此时两个相似三角形就不存在对应关系,分类复杂难辨!但命此类题大多都是有迹可循的,往往题目中涉及的两个相似三角形会存在一组关键的相等角,这组相等的角一定是对应角,从而将复杂难辨的多种分类迅速简化成最多两类情形,下面以题来论,你会更清楚!

    构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

    典型考题

    1.从公共角出发,构造等角

    例1.(2019·娄底中考题)如图,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,﹣3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.

    (1)求抛物线的解析式;

    (2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.

    (3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.

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    【解析】(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3),将点D坐标代入上式,即可求解为:y=x²﹣2x﹣3;

    构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

    2.平行构造相等角

    例2..(2018·德州中考题)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x²+bx+c交于A、B两点,其中A(m,0)、B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.

    (1)求m、n的值及该抛物线的解析式;

    (2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合),分别以AP、DP为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN,连接MN,试确定△MPN面积最大时P点的坐标;

    (3)如图3,连接BD、CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

    【解析】(1)把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值,确定出A与B坐标,代入二次函数解析式求出b与c的值即可;

    (2)由等腰直角△APM和等腰直角△DPN,得到∠MPN为直角,由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积,利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可求当m=2,即AP=2时,S△MPN最大,此时OP=3,即P(3,0);

    (3)存在,理由如下:

    构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

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    3.由三角函数值求相等角

    例3.(2019·郴州中考题)已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴分别交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C.

    (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;

    (2)点F是线段AD上一个动点.

    ①如图1,设k=AF/AD,当k为何值时,CF=1/2AD?

    ②如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与△ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由.

    构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

    【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式,可求得顶点D(﹣1,4);

    (2)①由A、C、D三点的坐标求出AC=3√2,DC=√2,AD=2√5,可得△ACD为直角三角形,若CF=1/2AD,则点F为AD的中点,可求出k的值;

    ②由条件可判断∠DAC=∠OBC,则∠OAF=∠ACB,若以A,F,O为顶点的三角形与△ABC相似,可分两种情况考虑:当∠AOF=∠ABC或∠AOF=∠CAB=45°时,可分别求出点F的坐标.

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    4.题无定角,分类讨论相等角

    例4.(2019·襄阳中考题)如图,在直角坐标系中,直线y=﹣1/2x+3与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为x=1的抛物线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连接AC.

    (1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;

    (2)已知点P为第一象限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;

    (3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

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    解题反思总结

    在坐标系中确定点,使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似,即为“相似三角形存在性问题”.求解的出发点为根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法,解决问题.通常相似的两三角形有一个是已知的,而另一三角形中有1或2个动点,即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题.

    常见思路分析如下:根据相似三角形的做题经验,可以发现,判定1基本是不会用的,这里也一样不怎么用,对比判定2、3可以发现,都有角相等!所以,要证相似的两个三角形必然有相等角,关键点也是先找到一组相等角.然后再找:思路1:两相等角的两边对应成比例;思路2:还存在另一组角相等.事实上,坐标系中在已知点的情况下,线段长度比角的大小更容易表示,因此选择方法可优先考虑思路1,构造等角两边对应成比例.解题的关键是找到一组关键的相等角,这是第一步,而这组相等的角有时题目会很明显地交代出来,有时比较隐晦,需要自己有意识地去寻找这些特殊关系!

    构造等角,破解中考相似存在性压轴难题

    其中“一线三等角”是极其重要的相似形,在解题中可将其视为“工具”,其运用分三重境界,一重境是一线上已具备三个等角,只需识别模型,再证明相似,直接运用;二重境是一条线上有两个等角,需在补上一个等角,构造模型解题;三重境是一条线上只有一个等角,需补上两个等角,构造模型解题。这种模型的关键是一线加顶点在这条线上的三个等角,解题时模型完整则直接用之,模型残缺则补全模型再用之.

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