高中物理有关天体运行中应注意的几个概念

太行森林 2020-01-07

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天体运行中有些容易混淆的概念，初学者若不加以区分常会造成错解。下面例举说明，供同学们参考。

1. 应注意公式

和

中“r”的不同

万有引力公式

中的“r”是指可视为质点的两个物体（M、m）之间的距离；而圆周运动向心力公式

中的“r”是指物体做圆周运动的曲率半径。因此两者的物理意义完全不同，不能混淆。通常情况下当一个天体绕另一个中心天体做匀速圆周运动时，这两个“r”在数值上相等。

例1 如图所示，卫星绕地球作椭圆轨道运动。卫星在近地点A时，距地心距离为r_A，运行速度为v_A，卫星在远地点B时，距地心距离为r_B运行速度为v_B，则下列关系式正确的是（）

解析卫星在A、B两点运行时，万有引力提供向心力，但在A点和B点轨道半径不是r_A和r_B，应是轨道上A、B两点的曲率半径。由数学知识可求得A、B两点的曲率半径相同且为

设地球和卫星的质量分别为M、m，故由牛顿第二定律有

和

由以上各式可解得

所以选项C正确。

注意该题很多同学因不区分两个“r”，错误地认为“r”相同而选D。另外，还要注意卫星做椭圆轨道运动时，万有引力不一定等于向心力，应当是万有引力沿轨道法线的分力提供向心力，只有在A、B两点，万有引力是沿轨道法线方向的，此时万有引力等于向心力大小。

2. 应注意“近地卫星”与“赤道上的物体”的不同

“近地卫星”指环绕地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，由于距地面的高度远小于地球半径，因此在粗略计算中总把其运行轨道半径近似为地球半径；“赤道上的物体”随地球的自转也在做圆周运动，其半径等于地球半径。很多同学只关注它们做圆周运动及半径都是近似等于或等于地球半径，就混淆了上述两类运动。

其实两者本质上的区别是向心力问题，“近地卫星”的向心力等于地球对卫星的万有引力大小，卫星处于完全失重状态，故有

所以，由此可得“近地卫星”的线速度为

（大小等于第一宇宙速度），周期

“赤道上的物体”周期与地球自转周期相同

，随地球自转的向心力是由地球对物体万有引力的一个分力来提供，其大小为

，可知向心力F很小，“赤道上的物体”的线速度为

。

例2 中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观察到它的自转周期为

。问该中子星的密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常数

）

解析此题尽管对大多数学生来说，中子星是什么样的一个天体并不清楚，但应该清楚其自转而不瓦解的物理本质，跟地球表面的物体不致因地球自转而被甩出去的本质是一样的。所以中子星要保持自身的相对稳定，需要它对自身的任何一部分的作用力恰好提供这一部分做速圆周运动的向心力。那么取哪一部分作为研究对象呢？因赤道上的物体最容易被甩出去（其所需的向心力最大），所以可考虑中子星表面在赤道处的一小部分（微元）。设此微元的质量为m，中子星的密度、质量及半径分别为

、M、R。则由牛顿第二定律有

中子星的密度

由以上两式并代入数据可解得

3. 应注意“同步卫星”运动与“赤道上物体”随地球自转运动的不同

“同步卫星”是相对地球表面静止的稳定运行的人造卫星，其运动周期和角速度与“赤道上物体”自转运动一样都等于地球自转周期和角速度。但两者的本质区别仍是向心力不同：“同步卫星”受到的万有引力全部提供其向心力，因此其处于完全失重状态。而“赤道上物体”所需的向心力不到其所受万有引力的0.4%。

例3 某地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为v₁，加速度为a₁，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a₂，第一宇宙速度为v₂，地球的半径为R，则下列比例式正确的是（）

解析由题设条件可知，题中涉及的研究对象为同步卫星、赤道上物体和近地卫星，其中同步卫星与赤道上物体的角速度相等（都等于地球自转的角速度），赤道上物体与近地卫星的半径相同（都等于地球半径R）。

对同步卫星与赤道上物体由向心加速度的公式可得

因为同步卫星与近地卫星都在各自的轨道上做匀速圆周运动，所以由牛顿第二定律可知，同步卫星在运行时满足

近地卫星在运行时满足

由以上两式可得

所以综合上述分析，可知选项AD正确。