数学史上最重要的一本书

古希腊人对数学的发展起到了奠定、锚定的作用，深远的影响了后续数学的发展。在定义、公理和公设的基础上通过一系列严格演绎证明发展了一门学科，训练了一批又一批的专业人才。欧几里得正是在前人工作的基础上，完成《几何原本》一书，该书内容丰富、结构严谨、论证透彻，称其为整个人类文明史上的里程碑也不过分。时至今日，《几何原本》仍被认为是几何学的入门书籍，被广泛用于中学的数学教材中。

始于公理

欧几里得《几何原本》一书是从一系列定义、公设和共同概念开始的，这些共同概念后来被称为公理。最初只有5条公理，头三条是用于作图的，分别：

• 连接两点可以作一直线。
• 直线的两端可以任意延长。
• 可以做一圆，具有给定的中心和给定的半径。

第4条公设是说所有的直角都相等。

第5条是欧几里得赖以建立其全部平行线的理论的，该公设指出：

如果一条直线落在另外两条直线上，且在割线一侧所成之两内角之和小于二直角，那么，只要在小于两直角的这两个内角所在的割线那一侧延长这两条直线，它们就会相交。

欧几里得试图根据这些定义公理和公社，以绝对严谨的方式建立起几何学知识的整个大厦。在他以前也有人设想过同样的计划。但似乎只有欧几里得做到了，把几何学原理联系到一起，把欧一克瑟斯的许多定理有次序的安排起来，把铁塔斯的许多定理加以完善化，对前人未经严谨证明了许多东西，给以无可争辩的阐明。

下面是《几何原本》的内容简介，跳过阅读不影响理解全文。

几何原本的内容

第1卷内容：关于直线和由直线构成的平面图形的几何学。

第2卷建立了许多人所共知的代数恒等式。由于没有代数符号，几乎依靠几何学方法证明它们。这部分内容收入了很多毕达哥拉斯学派的内容。

第3卷讨论圆的性质，其中有许多在哲人派试图解决求圆面积问题时就已经发现了。

第4卷，继续讨论圆的几何学，特别提到了某些圆内切和圆外切的直线图形方面的问题。

第5卷详细探讨了关于比例的理论，并且把它推广到各种量，此外还证明了它既可以应用到可通约的量，也可以用到不可通约的量。一般公认该卷大部分内容是欧伊克色斯和铁塔斯的工作，只是欧几里得把他们编排的更合乎逻辑次序。

第6卷把第5卷中，已经建立起来的关于比例的一般理论，应用到平面图形上去。

第7、8、9卷与算术理论有关。第7卷讨论了素数的性质，第8卷主要研究有关连比例数的定理。第9卷继续讨论第8卷中的问题，并且发展了素数的理论，欧几里得本人给出素数的个数是无限的一个证明。

第10卷讨论无理数，通常认为这一卷是欧几里得的杰作。该卷内容大都属于铁塔斯的工作，欧几里得把整个内容按逻辑顺序编排起来。

第11卷至第13卷专门讨论立体几何学。第11卷把平面直线和平面角的几何学推广到平面和平面所构成的角上。还讨论了包括平行六面体、圆锥体、球体等立体图形的性质。第12卷中使用了穷竭法，用于圆、圆锥体等问题的证明。第13卷说明了如何做出5种球内包的正立方体，即四面体、立方体，八面体，十二面体和二十面体。而且建立了立方体的边与外接球的半径之间的联系。

作为第13卷的补充，第14卷包括8个命题。一般认为，该卷是公元前二世纪喜西克里斯的贡献。第15卷可能是大马士革的工作。

欧几里得给予几何学研究的推动力，在整个公元前三世纪，主要是由阿基米德和阿普罗尼亚斯保持下来的。但是，关于数论的研究却无人问津，直到将近400年后，尼克马尔斯的出现，才有了对这门学科感兴趣的人，几何学一直吸引着人们重视数学，在不到100年中，他已经上升到甚至比欧几里得所达到的更高的高峰。

非欧几何的建立

欧几里得通过一些定义、公理和公设，建立起了几何学结构。但其第4公设和第5公设，无论在古代还是现代，都经常受到攻击。欧几里得的平行公理并不像其他的公理那样直观和不证自明。数学家对这种缺乏无可辨别说服力的公理，显然是无法完全接纳的。甚至欧几里得本人也不怎么喜欢它，他在证明完不需要平行公理的所有定理以后，才会使用这条公理。

著名的平行公设，从托勒密起，一直有人尝试证明它、修正它，均未获得成功。对于平行公理，人们基本上有两条路。

首先有人想到第一个办法：平行公理是不是一条可以由其他公理推导出来的定理？若果真如此，那么可以把这条公理从欧几里得的公理系统中剔除。一批又一批数学家的尝试和失败，使人们意识到，使用其他公理来证明平行公理是徒劳的。因此又有人考虑另一条路：是否能够用一条直观上更容易接受的公理来代替这条公理？2000多年来，平行公理问题被看成是几何原理中的家丑，耗废了无数数学家的精力。

一个重大的历史转机是1826年2月11日晚，由俄国数学家罗巴切夫斯基教授主讲《论几何的基础》。他向听众证明，欧几里得平行公理是独立的，不可能由欧几里得的其他公理给予证明，因此建立在别的公理选择基础上的其他几何学，在逻辑上是可能的。当然，在他意料之内，演讲并未得到热烈的响应。但这并不妨碍1826年2月11日，作为非欧几何的诞生日，已经不可磨灭的载入数学的光辉史册。

在随后的几年里，罗巴切夫斯基致力于完善自己的非欧几何理论，并发表多篇论文，可惜论文并未被人注意和重视。1840年，罗巴切夫斯基用德文写的《平行线理论的几何研究》正式出版，该书落到数学王子高斯手中，得到高度的赞赏，似乎事情得到了转机。事实上高斯早在罗巴切夫斯基以前就发现非欧几何的真理，但他屈服于康德哲学和传统的压力，未能公开对欧几里得几何提出挑战，甚至不能对罗巴切夫斯基理论给予公开的支持。而匈牙利的鲍耶几乎独立的与罗巴切夫斯基同时在非欧几何研究中取得类似结果。可惜鲍耶本人，过于计较优先权的归属，导致半途而废。

数学王子——高斯

在数学发展史上，非欧几何的建立具有划时代的意义，罗巴切夫斯基平行公理来代替更直观的欧几里得平行公理，标志着人类对空间形式的认知发生了飞跃，由直观的空间上升到抽象的空间，从而从根本上动摇了认为几何公理能够凭它直观的自明性而成立的传统观念。随着科学的发展，非欧几何日益显出无比强大的生命力，其中最为重要的就是黎曼几何，为后来的广义相对论建立提供坚实的数学基础。

欧几里得几何的价值

• 欧几里得可谓是采众家之长，将前人较零散的成果系统成书。欧几里得公理化的思路对数学的影响可谓是深远，起到锚定的作用。虽然《几何原本》中也收录了大量的命题，很明显这不同于《九章算术》问题收集记录，《几何原本》更系统化。
• 《几何原本》丰富全面的内容，使得古人成果得以传播、保存。世界范围内，没有哪一本数学书籍是跨越千年，还能有那么多人去学习、研究，甚至影响到其他的非数学领域。
• 更利于一代代数学人才的学习、传承、成长，使得数学的教育更具连续性，更利于数学的研究更集中。古今中外，数学的教育中欧氏几何成为不可缺少的内容。
• 《几何原本》在内容上，给人实际的课题内容，就比如《非欧几何》的诞生。
• 《几何原本》在思想上，给人以启发，比如由罗素悖论引起的数学危机，人们同样考虑的是公理化的问题。