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开学已经三周了，离中考也只有三个多月了，深圳各学校已经开始全面复习或刚学完最后一章圆准备进入全面复习。 说到圆，近年来深圳中考数学卷圆的题目一般1-2道题：选择题1道，22题几何压轴题1道（17年只有22题1道题）。因为圆的图形里既有直线也有曲线，初中所学到的几何图形如三角形、四边形的性质以及圆自身的性质，都可以结合在一起，综合性很强，所以往往作为几何压轴题来考。 只有2道题，要把圆所有的知识点都顾及到，也不太可能。从以往出题的情况来看：圆心角、圆周角、垂径定理、圆内接四边形、切线、扇形面积计算、圆和相似三角形的综合是重点考查内容，其中同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为90°、垂径定理、圆与相似三角形综合是每年必考内容，所以这几方面的内容要熟练掌握。 同弧或等弧所对的圆周角相等，是圆的一个基本且重要性质，不仅在选择题中可以考到，在压轴题中，往往利用它来转化等角，确定相似△或全等△的对应角，所以在做22题时，一定要考虑运用这个性质从图中找同弧（或等弧）对应的圆周角来转化。每年中考22题第3问都用到了这个性质来确定相似三角形，而18年在第2、3问上都用到了（第2问确定相似三角形，第3问确定全等三角形）。 熟练运用此性质是必须掌握的技能，同时这个性质也不仅限于在圆的题中运用。今天我们就来讲一讲利用“同弧所对的圆周角相等”，在非圆的几何图形或坐标系中构造圆来辅助解题。 实战演练 先来看一道三角形的几何题： 这道题高中生会用三角函数正/余弦定理解，初中常用方法是半角模型构造正方形或作垂直构造等腰Rt△结合全等、相似（这两种方法也是初中的主流方法），我另外用了“一线三直角（K字）全等结合平行线比例线段”和“建立坐标系用一次函数解析式法”，以及今天要讲的构造圆的方法，前面几种方法在这里就不作解析了（除三角函数的方法，其它几个方法有兴趣的同学可以自己尝试）。 首先作△ABC的外接圆，那么如何确定外接圆的圆心O呢？因为AB,AC都未知，这里就需要用到上面所说的圆周角的性质。过点C作CF⊥BC，使CF=BC，连接BF，∵∠BAC=45°，则∠F=∠BAC=45°，所以BF的中点即为外接圆的圆心(为什么？)，或作BC中垂线，与BC的交点即为圆心(又是为什么？)，作OE⊥BC，OH⊥AD，连接OA，则OA即为⊙O的半径。 我们将上面的解法由具体转化为一般。 由上面解法可以看出关键是求出外接圆的半径和圆心坐标。设圆心O坐标为(a,b),则所求AD即为点A纵坐标，设A坐标为(x,y),则AD=y，因为OA=r，根据两点间距离公式得：
也就是说，在平面直角坐标系中,由圆心坐标和半径可以确定一个圆。那么在上题中, 求AD即求⊙O与y轴的交点：x=0时，方程y的解。 所以这个方法本质是利用圆的方程求交点的方法，虽然圆的方程是高中内容，但完全可以不用高中的知识，只需初中的解题思维，只是说法不同，当然如果理解了这种解法，高中学圆方程时就会很轻松。 如果把上题中∠BAC=45°改为60°呢? 一样可以！ 我们来看2018年(上一届初三)宝安区二模卷压轴题最后一问，刚好就是这样一道题。 在y轴上找一点P使得∠APB=60°，求P点坐标，这一问其实可以转化为： 在△PAB中，∠APB=60°，PO⊥AB，OA=2,OB=4,求OP长。 很显然P点有上下2个，关于x轴对称，所以只求出一个，另一个是它的相反数。 常规解法依然有：三角函数法、一线三直角（K字）相似、双垂直相似、一次函数解析式法 （除三角函数外，有兴趣的同学可以分别尝试），下面我们还是用构造圆的方法来解。 利用∠APB=60°，同样作△APB的外接圆，由题目条件我们发现∠ACO=30°，所以延长AC交抛物线对称轴于 点E，连接BE，则∠AEB=60°(为什么？)，作△ABE的外接圆⊙G，交y轴于点F，连接AF,BF，由圆周角性质，易知∠AFB=∠AEB=60°，则点F即为所求点。 接下来确定△ABE外接圆圆心的坐标，∵△ABE为等边△，则易求外接圆圆心坐标为：
x=0时，求出方程y的解，y有两个解，由图可知y取负值的那个符合要求（思考：y取正值时PA与PB所成夹角为多少？），再关于x轴对称，得到另一个P点。 如果不用圆方程，则设F坐标为（0，y）,构造Rt△HGF，用勾股定理列等式，解方程，会得到和圆方程一样的式子。 以上两题使用的方法中，不仅运用了【同弧所对圆周角相等】这个性质，在求圆心的坐标时，还用到了垂径定理、 90°所对圆周角是直径、30°直角△、等边△、平行线、勾股定理等性质，以及坐标系中数形结合的运用，解题过程中将所学的多个知识点综合运用起来，既巩固了所学，又开拓了思维，对数学的学习是很有帮助的，尤其有利于将来高中数学，因为目前初中数学大多数题目基本形成了固定的解法，也就是我们说的套路，这些套路都是前人们已经给你想好了，你只需按照套路的步骤一一运用，并没有自己的思考和思维方式，而高中数学，灵活多变，基本没有固定套路可循，用初中的套路解题思维就可能会不适应，所以也就出现一些初中生高分进入名校后，数学却考不好甚至还有考不及格的。 最后，给大家留一道作业，要求是尽可能用多种方法解答，包括今天所讲的方法。 我已经用了8种方法，也许你还有不一样的方法呢？
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