二次函数及解析式专项练习与解析

01

一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本。据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90，第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。 

（1）设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y，写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？

（2）当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？

（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和。

02

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答下列问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）； 
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多 少？

03

Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、 Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动。设运动时间为ts。

1.用t的代数式分别表示AQ和AP的长；

2.设△APQ的面积为S，

（1）求△APQ的面积S与t的关系式； 

（2）当t=2s时，△APQ的面积S是多少？

3.当t为多少秒时，以点A. P. Q为顶点的三角形与△ABC相似？

04

如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，点F是CD延长线上一点，且DF=2cm。点P、Q分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向终点B运动，当一点运动到终点B时，另一点也停止运动。FP、FQ分别交AD于E、M两点，连结PQ、AC，设运动时间为t （s）。

（1）用含有t的代数式表示DM的长； 
（2）设△FCQ的面积为y （cm2），求y与t之间的函数关系式； 
（3）线段FQ能否经过线段AC的中点，若能，请求出此时t的值，若不能，请说明理由； 
（4）设△FPQ的面积为S （cm2），求S与t之间的函数关系式，并回答，在t的取值范围内，S是如何随t的变化而变化的。

05

某商店销售一种食用油，已知进价为每桶40元，市场调查发现，若以每桶50元的价格销售，平均每天可以销售90桶油，若价格每升高1元，平均每天少销售3桶油，设每桶食用油的售价为x元（x≥50），商店每天销售这种食用油所获得的利润为y元。

（1）用含有x的代数式分别表示出每桶油的利润与每天卖出食用油的桶数；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当每桶食用油的价格为55元时，可获得多少利润？ 
（4）当每桶食用油的价格定为多少时，该商店一天销售这种食用油获得的利润最大? 最大利润为多少?

06

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A.B的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x秒。

（1）P点的坐标为（____ ，_____ ）；（用含x的代数式表示） 
（2）试求 MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。

07

如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．

（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；
（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

08

如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M从D点出发，以1个单位／秒的速度沿DA向终点A运动，同时动点N从A点出发，以2个单位／秒的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NP⊥AB，交AC于点P1连结MP．已知动点运动了x秒． 

（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
（2）试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； 
（3）在这个运动过程中，△MPA能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明理由．

09

研究表明一种培育后能繁殖的细胞在一定的环境下有以下规律：若有n 个细胞，经过第一周期后，在第1 个周期内要死去1个，会新繁殖(n-1)个；经过第二周期后，在第2 个周期内要死去2个，又会新繁殖(n-2)个；以此类推.例如, 细胞经过第x个周期后时，在第x个周期内要死去x个，又会新繁殖 (n-x)个。

（1）根据题意，分别填写上表第4、5两个周期后的细胞总数；
（2）根据上表，写出在第x周期后时，该细胞的总个数y（用x、n表示）；
（3）当n=21时细胞在第几周期后时细胞的总个数最多？最多是多少个？

010

某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个。

（1）假设销售单价提高x元，那么销售300个篮球所获得的利润是____________元；这种篮球每月的销售量是___________________个。（用含x的代数式表示）
（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？ 

◆◆答案解析◆◆

1

解：（1）y=xw=x（10x+90）=10x2+90x，
令10x2+90x=700，解得x=5，
答：前5个月的利润和等于700万元。 
（2）令10x2+90x=120x，
解得x=3，
答：当x为3时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等。 
（3）使用回收净化设备后两年的利润总和为：12（10×12+90）+12（10×12+90）=5040（万元）。

2

解：（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为500-（55-50）×10=450（千克），所以月销售利润为（55-40）×450 =6750（元）；
（2）y=-10x2+1400x-40000；
（3）要使月销售利润达到8000元，即y=8000
所以-10x2+1400x-40000=8000
则x1=60，x2=80
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为500-（60-50）×10=400（千克），月销售成本为40×400=16000（元）
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为500（80-20）×10=200（千克），月销售成本为40×200=8000（元）
由于8000<10000<16000
而且销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。

3

解：1.用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6-t
2.设△APQ的面积为S, 
（1）△APQ的面积S与t的关系式为：S=   即S=6t-t2 
（2）当t=2s时，△APQ的面积S=6×2-22=8(cm2) 
3.当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似 
（1）当时       ∴t=2.4(s) 
（2）当时，    ∴
综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似。

4

解: （1）
（2） S△FCQ=5t　
（3）
（4）


S随t的增大而减小。
即：从t=0，S=30变化到 t=6，S=6

5

解：（1），或；

（2）设月销售利润为y元，
       由题意
       整理得

（3）当每桶食用油的价格为55元时，

答：当每桶食用油的价格为55元时，可获得利润1125元

（4）
         
         则：当x=60时，y的最大值为1200
答：当每桶食用油的价格定为60元时,该商店每天销售这种食用油获得的利润最大。
       最大利润为1200元。

6

解：（1）（6-x ， x ）；
     （2）设MPA的面积为S，在MPA中，MA=6-x，MA边上的高为 x，
    其中，0≤x≤6
    ∴S=（6-x）×x= (-x2+6x) = -  (x-3)2+6 
    ∴S的最大值为6， 此时x =3；
      （3）延长ＮＰ交x轴于Ｑ，则有PＱ⊥ＯA
  ①若ＭP=ＰA ∵ＰＱ⊥ＭA ∴ＭQ=ＱA=x. ∴3x=6, ∴x=2；
  ②若ＭＰ=ＭA，则ＭＱ=6-2x，ＰＱ= x，ＰＭ=ＭA=6-x 
   在ＲtPMQ中，∵PM2=MQ2+PQ2 
   ∴(6-x) 2=(6-2x) 2+ (x) 2   ∴x= 
  ③若PA=AM，∵PA=x，AM=6-x   ∴x=6-x   ∴x= 
  综上所述，x=2，或x=，或x=。

7

解：（1）横向甬道的面积为： 
      （2）依题意： 
整理得：
（不符合题意，舍去） 
∴甬道的宽为5米．
     （3）设建设花坛的总费用为y万元． 


 当时，y的值最小． 
因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，
米时，总费用最少． 
最少费用为：万元

8

解：（1）PN=． 
      （2）过点P作PQ⊥AD交AD于点Q． 可知PQ=AN=2x． 
依题意，可得AM=3-x． 
∴S=·AM·PQ=·(3-x)·2x=-x2+3x=-． 
自变量x的取值范围是：0＜x≤2． 
∴当x=时，S有最大值，S最大值=． 
      （3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：
①若PM=PA， ∵PQ⊥AD，∴MQ=QA=PN=． 
又DM+MQ+QA=AD ∴4x=3，即x=． 
②若MP=AM， MQ=AD-AQ-DM=3-，PQ=2x，MP=MA=3-x． 
在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2． 
∴(3-x)2=(3-)2+(2x)2．
解得x=，x=0（不合题意，舍去）
③若AP=AM， 由题意可求AP=，AM=3-x． 
∴=3-x．解得x=． 
综上所述，当x=，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．

9

解：（1）4（n-3）-4+(n-4)=5（n-4）
5（n-4）-5+(n-5)=6（n-5）；
（2）；
（3）当n=21时，=
所以，当x=10时，。

10

解：（1）300（10+x）；500-10x；
      （2）设月销售利润为W元，
由题意得
整理得 
当x=20时，W有最大值9000，
而20+50=70，
答：8000元不是最大利润，最大利润为9000元，此时篮球的售价为70元。