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在八年级上学期学习完全等三角形之后，许多几何中的问题都能用全等来解决，这也是全等最为广泛的用途——等量转换，然而，除了全等之外，八年级还有一些定理和方法，由于不常用，导致被遗忘，甚至一些学优生在全等“用习惯”之后，也懒得思考去用其它方法，这就有点本末倒置了。 题目 已知△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3,0)，点C(5,0). (1)如图1，求BD的长； (2)如图2，设BD交x轴于点F，求证：∠OFA=∠DFA； (3)如图3，若点P为OB上一个动点(不与O、B重合)，PM⊥OA于M，PN⊥AB于N，当点P在OB上运动时，求证：PM+PN为定值.  解析： (1)当第一眼看到两个等边三角形有一个公共顶点时，或许就会有学生叫出“手拉手模型”，这没错，这是个很好听的名字，也很形象，这两个等边三角形可以提供给全等两组对应边，同时中间的夹角也可证相等。图中的△ABD恰好包含要求长度的边BD，而它和另一个△AOC全等，于是BD=OC=5，证明如下： ∵等边△AOB和等边△ACD ∴AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60° ∴∠OAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC即∠OAC=∠BAD ∴△OAC≌△BAD(SAS) ∴OC=BD=5 (2)这一小题的突破口在观察∠OFA和∠DFA关系时，认识到需要证明AF是∠OFD的角平分线即可，证明角平分线，有这样一个定理“到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上”，在图中，已经存在点A到边OF的距离AE，还差另一条垂线段，于是作AG⊥BD于G，如下图：  由于在前一小题中已经证明了△OAC≌△BAD，而AE和AG则分别是它们的对应高，因此AE=AG，现在可以说明AF是∠OFD的角平分线了，即∠OFA=∠DFA； (3)如果这一小题受全等思维惯势影响，会导致学生竭力去寻找或构造全等三角形，这也没错，例如截长补短思路，将PM和PN都“搬”到一条直线上，过点P作x轴垂线PQ，垂足为Q，然后很容易得到EQ=PN，接着证明剩下的OQ=PM，问题便转化成全等三角形了，证明如下：  作PQ⊥x轴于点Q ∵PN⊥AB，AB⊥x轴 ∴矩形PQEN ∴EQ=PN ∵等边△AOB，OE⊥AB ∴∠POQ=30° ∵∠AOB=60° ∴∠OPM=30° 又∵OP=PO ∴△POM≌△OPQ ∴PM=OQ ∴PM+PN=OQ+EQ=OE=3 如果不受全等影响，从定值二字出发，图中有哪些量是定值呢？显然等边三角形本身就是，包含它的面积。PM和PN是垂线段，在三角形中，垂线段和高联系紧密，因此想到连接AP，用面积法，证明如下：  连接AP S△AOP=OA×PM÷2，S△ABP=AB×PN÷2，S△AOB=AB×OE÷2 S△AOB=S△AOP+S△ABP =OA×PM÷2+AB×PN÷2 =AB×(PM+PN)÷2 由题意可知，AB为定值，即PM+PN为定值. 解题反思 在观察学生解题的时候，注意他们在草稿纸上或图形的涂写，这是思维过程的暴露，其实在解第一小题时，那个最早叫出手拉手模型的学生，的确是解得最快的，而跟着附和的学生中，明显有一些是只闻其名，未知其义。手拉手模型我在课堂上讲过不少例题，但名称从未这样说过，显然是在培训机构上课时，老师讲过，然而此模型虽然简单，但学生仍未理解透，说明在观察图形时，模型并未在脑中留下印象。 而在第二小题时，多数学生受全等三角形思维惯势影响，在寻找全等上消耗太多时间，而当我说出那个判断角平分线的时候，便发出恍然的声音，看来思维全面性还是不够。因为在平时作业中，“做对就行了”这种思想根深蒂固，典型的应付差事。 第三小题，在前一小题已经有教训的前提下，仍然不少学生选择了全等这条路，这不怪他们，毕竟还是做对了，但相对更容易的面积法证明，这部分已经完成的学生就显得心不在焉，只有极个别学生依然在认真听。 可见，做事浮于表面，听讲只听大概，依然是学生提升自我的最大障碍，解题乐趣不可言，解决问题交差就好。而那些对新解法肯下功夫去研究的，事实证明，他们才是真正的学习的主人。 |
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