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法兰克·本福特(Frank Benford, 1883—1948)本来是一个美国电气工程师，也是一名物理学家，在美国通用电气公司实验室里工作多年直到退休。这位工程师在50多岁的时候，迷上了一个与概率有关的课题。 课题得到的结论便是现在我们所说的“本福特定律”。事实上，本福特定律的最早发现者并不是本福特，而是美国天文学家西蒙·纽康（Simon Newcomb，1835—1909）。 纽康于1877年成为美国航海天文历编制局局长，并组织同行们重新计算主要的天文常数。繁杂的天文计算经常需要用到对数表，但那个时代没有互联网，没有阿里云，对数表只能被印成书本存于图书馆中。 细心的纽康发现一个奇怪的现象: 对数表中包含以1开头的数的那几页比其他页破烂得多，似乎表明计算所用的数值中，首位数是1的概率更高。因此他在1881年发表了一篇文章，提到并分析了这个现象，但没有引起人们的注意。直到57年之后的1938年，本福特又重新发现这个现象。 说来令人奇怪，科学定律的发现有时候来自于一些小得不能再小的现象，本福特的发现便是如此: 以1开头的数字比较多，这也算是一个定律吗？本福特发现这种现象不仅仅存在于对数表中。也存在于其他多种数据中。于是，本福特检查了大量数据而证实了这点。 本福特定律是一个乍听起来有点奇怪并违反直觉的现象，我们举一个例子说明它。 设想某银行有1000多个存储账户，金额不等。比如说，小张有存款23587元、老李1345元、小何35670元、刘红9000元、王军450元……奇怪的本福特定律不感兴趣存款金额本身，而感兴趣这些数值的开头第一位有效数字是什么，有效数字指的是这个数的第一个非零数字。例如8.1、81、0.81的第一位有效数字都是8。比如说，刚才几个人存款数的第一位数字分别是2、1、3、9、4。所以，本福特定律也叫“首位数字定律”。 一个数的第一位(非零)数字可能是1到9之间的任何一个。现在，如果我问，在刚才那个银行的上千个存款数据中，第一位数字是1的概率是多大？ 不需要经过很多思考，大部分人都会很快地回答: 应该是1/9吧。因为从1到9，9个数字排在第一位的概率是相等的，每一个数字出现的概率都是1/9，在11%左右。 这个听起来十分正常的思维方法，却与许多自然得到的数据所遵循的规律不一样。人们发现，很多情况下，第一个数字是1的概率要比靠直觉预料的11%大得多。数字越大，出现在第一位的概率就越小，数字9出现于第一位的概率只有4.6%左右。各个数字出现在第一位的概率遵循如图所示的概率分布。 本福特定律(首位数定律)及其应用实例 本福特和纽康都从数据中总结出首位数字为n的概率公式: P(n)=logd(1+1/n)，其中d取决于数据使用的进位制，对十进制数据而言，d=10。因此，根据本福特定律，首位数是1的概率最大，lg2=0.301，十成中占了三成；首位数是2的概率lg(3/2) =0.1761；然后逐次减小，首位数是9的概率最小，只有4.6%。 本福特收集并研究了20229个统计数据，分成20组，包括如河流面积、人口统计、分子及原子质量、物理常数等多种来源的资料。数据来源虽然千差万别，却基本上符合本福特的对数法则，见下图所示的数据表。 表中的最后一行数值，是根据本福特的对数规则计算得到的每个数字出现于首位的概率，读者可以将它与真实数据相比较。 本福特定律适用范围异常广泛，自然界和日常生活中获得的大多数数据都符合这个定律。 尽管如此，但毕竟还是有其应用范围，主要是受限于如下几个因素: ①这些数据必须跨度足够大，样本数量足够多，数值大小相差几个数量级； ②人为规则的数据不满足本福特定律，比如说按照某种人为规则设计选定的电话号码、身份证号码、发票编号，为造假而人工修改过的实验数据等，都不符合本福特定律。彩票上的随机数据也不符合本福特定律。 不管你如何诠释本福特定律，它是一个客观存在，并且十分有用！ 由于大多数财务方面的数据，都满足本福特定律，因此它可以用作检查财务数据是否造假。 美国华盛顿州曾侦破过一个当时最大的投资诈骗案，金额高达1亿美元。诈骗主谋凯文·劳伦斯及其同伙，以创办高技术含量的连锁健身俱乐部为名，从五千多个投资者手中筹集了大量资金。 然后，他们挪用公款来满足自身享乐，为他们自己买豪宅、豪华汽车、珠宝等。为了掩饰他们的不法行为，他们将资金在海外公司和银行间进行频繁转账，并且人为做假账，给投资者造成生意兴隆的错觉。所幸当时有一位会计师感觉不对头，他将七万多个与支票和汇款有关的数据收集起来，将这些数据首位数字发生的概率与本福特定律相比较，发现这些数据通过不了本福特定律的检验。最后经过了3年的司法调查，终于拆穿了这个投资骗局。2002年，劳伦斯被判坐牢20年。 2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，并传出公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻。据说安然公司高层改动过财务数据，因而他们所公布的2001—2002年每股盈利数据不符合本福特定律。此外，本福特定律也被用于股票市场分析、检验选举投票欺诈行为等。 |
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