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1.简单形式的柯西不等式 名师点拨： 1.定理1：的几点说明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2,这里用了放缩法.因为(ad-bc)2≥0,所以简单形式的柯西不等式中等号成立的充要条件是(ad-bc)2=0,即ad=bc. 2.简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系,不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学和物理中有重要作用. 下列不等式中,不一定成立的是( ) 解析:由柯西不等式可知A,B,C项均成立,D项不成立. 答案:D 【做一做2】 若a=(cos α,sin α),b=(3cos 2β,3sin 2β),则a·b的取值范围是 . 解析:由已知得|a|=1,|b|=3,而由|α·β|≤|α||β|可知|a·b|≤|a||b|=3,所以-3≤a·b≤3,即a·b的取值范围是[-3,3]. 答案:[-3,3] 2.一般形式的柯西不等式 名师点拨 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式. 【做一做3】 若a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的取值范围是 . 解析:由三维形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)2≤4×9=36,所以-6≤ax+by+cz≤6. 答案:[-6,6] 一、 利用柯西不等式证明不等式 分析：根据柯西不等式的结构,可将欲证不等式右边添乘cos2θ+sin2θ,以符合柯西不等式的形式,再进行论证和推理. 反思感悟： 利用柯西不等式证明不等式时,有时需要将数学表达式进行适当变形,常见的变形技巧有下面几种: (1)结构的巧变 (2)常数的巧拆 在运用柯西不等式时,根据题中的数字特征,对常数进行巧拆是一种常用技巧.
反思感悟： 利用柯西不等式向量形式解决问题的技巧与方法 利用二维形式柯西不等式的代数形式解决问题时常需要构造两列数,同样,向量形式的柯西不等式需要构造两个向量,通常我们使构造的向量满足待证不等式一侧的形式,再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式 变式训练2 已知a,b∈R+,且a+b=1. 求证:(ax+by)2≤ax2+by2.
二、 利用柯西不等式求最值
反思感悟： 利用柯西不等式求最值的关键是根据已知条件,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式求解最值,构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法: (1)巧乘常数;(2)添项;(3)改变式子的结构;(4)重新安排各项的次序等.
纠错心得： 柯西不等式在求二元代数式的最值中具有重要的应用,解题中,一是要熟记柯西不等式的基本形式及其各种变式,二是要注意不等式中等号成立的条件,这是能否取得相应最值的关键,如果公式记忆不准确,忽视等号成立的条件,就容易导致错误。
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