高中物理：带电粒子在磁场中运动问题

带电粒子在有界磁场中所做的匀速圆周运动的问题，由于较好的综合了数学、物理知识，而成为历年高考考查的重点。解决这类问题的基本思路虽然较为明了，但由于具体条件、情况复杂，方法繁多，使得此类问题成为难点。然而，笔者发现有相当数量的题型可以通过灵活运用“φ=α=2β”来达到化归统一的目的，从而找到相对确定的方法，降低试题的难度。下面就明确“φ=α=2β”和化归统一“圆运动”作具体阐述。

一、明确“φ=α=2β”

带电粒子沿垂直于磁场的方向进入有界磁场，其运动轨迹为一圆弧（优弧或劣弧），连接圆弧的两端点（入射点、出射点）即得弦，而粒子在入射点或出射点的速度方向即为该圆弧的切线，可见

为了更准确的反映它们的关系，定义：

φ──偏向角，即粒子沿偏转方向转过的角度，反映在入射点与出射点的速度方向上；

α──回旋角，即粒子经过圆弧所对的圆心角；

β──弦切角，即粒子的速度与“弦”所成的角。

如图1所示，易证：φ=α=2β。

二、化归统一“圆运动”

（一）空间问题

由表一可知，解决“圆运动”问题，应充分关注“速度”的方向和入射点与出射点，以明确“切线、弦”，从而确定“轨迹圆”。

1．典型的“切线、弦”类型

例1如图2所示，在yxy平面并指向纸面外，磁感强度为B，一带正电的粒子以速度v从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子的电量和质量之比q/m。

分析与解答带正的电粒子射入磁场后，由于受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，由左手定则可知，粒子沿顺时针方向运动从x轴负半轴射出磁场。令出射点为M，则OM = L。由“切线、弦”可得圆心O’，如图3所示。

由几何关系易知，

又因为洛伦兹力提供向心力，即

，所以，

由、解得

。

利用圆的切线、弦的性质找准圆心，确定“轨迹圆”是该题得以解决的关键所在。

2．已知入射方向及偏向角“φ”，可用“φ=2β”来补弦，从而将问题化归为“切线、弦”类型

例2如图4所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径（重力忽略不计）。

分析与解答由于已知初速度与末速度的方向，可得偏向角φ=π/2。设粒子由M点进入磁场，则由φ=2β可沿粒子偏转方向β=π/4来补弦MN，如图5所示。

由“切线、弦”可得圆心O1，从而画轨迹弧MN。

显然M、N为磁场边界上两点，而磁场又仅分布在一圆形区域内。欲使磁场面积最小，则弦MN应为磁场边界所在圆的直径（图5中虚线圆），即得

，

由几何知识，在中可知，

又因为，

所以，这圆形磁场区域的最小半径

。

运用“φ=2β”来补弦，将此题化归于“切线、弦”类型，顺利得到粒子的运动轨迹，为观察发现磁场区域之半径与粒子运动轨迹的半径的关系，使问题得以解决创造了条件。

例3如图6所示，在边界为CD、EF的狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸而向里，磁场区域宽度为d，电子以不同的速率v从边界CD的S处沿垂直磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ．已知电子的质量为m，带电量为e。为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足什么条件？（不计重力）

分析与解答由，可知当m、e、B一定时，速率v大则轨迹半径R亦大。

设当电子以速率v射入磁场时，其运动轨迹恰好与边界EF相切，则有

且∠vSD即为偏向角φ，依据“φ=2β”做∠vSD的角平分线SM即得弦。

运用“切线、弦”可得圆心O，从而画出电子的轨迹（如图7所示）。

由图7，运用几何知识不难发现

由、解得

所以，为使电子能从EF边界射出，电子的速率应

。

有“切线、弦”的意识，发现隐含条件，抓住临界专态，迅速而准确的做出轨迹、图形，是求解该题的关键。

㈡时间问题

因为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由

，，可得。可见要解带电粒子在磁场中运动的时间问题关键是抓住回旋角α。

1．抓住回旋角“α”，求解时间

例4在真空中半径的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁场B＝．3T垂直于纸面向里，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为的带正电的粒子，已知粒子荷质比为

，则粒子在磁场中运动的最长时间t有多大？

分析与解答由可知，在v、一定时，若α最大则粒子在磁场中运动的时间就最长，且其所对的弦也最长。然而入射点与出射点间的距离即弦长，所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从O点进，而从M点出（如图8所示）。

又因为

由弦SM和半径R可作出粒子在磁场中的运动轨迹。

由图易知，

所以，粒子在磁场中运动的最长时间为

2．由“α=φ”，应用偏向角φ求解时间

例5如图9所示，一束电子（质量为m，电量为e）以速度v沿水平方向由S点射入垂直于纸面向里，磁感应强度为B，而宽度为d的匀强磁场。射出磁场时的速度方向与竖直边界成30°，则穿过磁场所用的时间是________________。

分析与解答直接应用求解，则需要画轨迹，工作量较大，且对于填空题而言，这属于无用功。

因已知初速度和末速度的方向，易得偏向角φ，若应用“α=φ”作为桥梁再应用求解，则解题过程十分简单。

所以，。

3．由“α=2β”，应用弦切角β求解时间

例6如图10所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。一对正、负电子分别以相同速率，沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（）

A．B．C．D．

分析与解答由左手定则可知，正电子由原点O射入磁场后沿逆时针方向偏转，而负电子则沿顺时针方向偏转。所以，正、负电子运动轨迹的弦切角分别为电子在O点的速度v与y轴正方向和与x轴正方向所成的角，即

，

由及α=2β可得，故选“B”。

如若由题条件知道弦切角β，利用“α=2β”求解带电粒子在磁场中的运动时间问题非常方便，连轨迹都不用画，效率很高，特别适用于求解选择题和填空题。

综上所述，灵活应用“φ=α=2β”可将带电粒子在磁场中的运动的作图问题统一于“切线、弦”类型，而将运动的时间问题化归于。这虽然不能解决所有的问题，但对于基础比较薄弱的学生而言无疑是很有意义的，它可以一定程度上降低试题的难度，帮助学生更快的掌握此类习题的解法。

▍ 来源：综合网络

▍ 编辑：Wordwuli

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