椭圆
[知识梳理]
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a，
－b≤y≤b－b≤x≤b，
－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b 焦距 ＝2c 性质 离心率 e＝，e(0,1) a，b，c
的关系 c2＝a2－b2 ．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()
(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()
()平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()
()方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()
()＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()
()椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()
()椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()
()椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()
答案：(1)错误．由椭圆的定义知，当该常数大于时，其轨迹才是椭圆，而常数等于时，其轨迹为线段F1F2，常数小于时，不存在图形．
(2)正确．由椭圆的定义得＋＝2a，又＝2c，所以＋＋＝2a＋2c.
(3)错误．因为离心率e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁．
(4)正确．由椭圆的对称性知其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称．
(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×()√()×
(8)×()√()√
二．考点突破
考点一椭圆的定义及标准方程
(1)已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝(B)
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，
如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为＋＝1.
解析：方法一椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.
又点(，－)在所求椭圆上，
＋＝1，
即＋＝1.
由得b2＝4，a2＝20，
所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
2．椭圆方程的求解方法
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．
(1)(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(D)
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
解析：设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
解析：设点B的坐标为(x0，y0)．
x2＋＝1，
F1(－，0)，F2(，0)．
AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，
则A(，b2)．
|AF1|＝3|F1B|，＝3，
(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)．
x0＝－，y0＝－.
点B的坐标为.
将B代入x2＋＝1，
得b2＝.
椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
考点二椭圆的几何性质
求椭圆离心率(范围)
(2019·泉州模拟)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(A)
A． B．
C． D．
解析：如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线，所以OMPF2，
所以PF2F1＝MOF1＝90°，
因为PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|＝＝|PF2|，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，
即c＝，
则e＝＝·＝.
【条件探究1】若将本典例条件“点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F2＝30°”改为“过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F1PF2＝60°”，求椭圆的离心率．
解：由题意，可设P.
因为在RtPF1F2中，|PF1|＝，|F1F2|＝2c，F1PF2＝60°，所以＝.
又因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，
即e2＋2e－＝0，
解得e＝或e＝－，
又因为e(0,1)，所以e＝.
【条件探究2】若将本典例条件“线段PF1的中点在y轴上，PF1F2＝30°”变为“P到两焦点的距离之比为21”，则椭圆的离心率的取值范围为.
解析：设P到两个焦点的距离分别是2k，k，
根据椭圆定义可知3k＝2a，
又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，
所以2a≤6c，即e≥.
又因为0＜e＜1，所以≤e＜1.
故椭圆的离心率的取值范围为.
根据椭圆性质求最值问题
已知点F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，点M是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(C)
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：设M(x0，y0)，F1(－3,0)，F2(3,0)．
则＝(－3－x0，－y0)，＝(3－x0，－y0)，
所以＋＝(－2x0，－2y0)，
|＋|＝＝＝，
因为点M在椭圆上，所以0≤y≤16，
所以当y＝16时，|＋|取最小值为8.
1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧
(1)注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．
(2)利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．
2．求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．
(1)(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°＜PF1F2＜120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(B)
A． B．
C． D．
解析：由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cosPF1F2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·cosPF1F2，即|PF2|＝2c·，所以a＝＝c＋c·，又60°＜PF1F2＜120°，－＜cosPF1F2＜，所以2c＜a＜(＋1)c，则＜＜，即＜e＜.故选B．
(2)(2019·山东烟台模拟)已知F(2,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6，若A(－2，)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为8＋.
解析：设椭圆的左焦点为F′，
由椭圆的右焦点为F(2,0)，得c＝2，
又过F且垂直于x轴的弦长为6，
即＝6，则＝＝3，解得a＝4，
所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，
当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝，
所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋.
考点三直线与椭圆
弦及中点弦问题
已知椭圆＋y2＝1，过点P且被P点平分的弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0__.
解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为
M(x0，y0)，则有两式作差得
＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为x2＋x1＝2x0，y2＋y1＝2y0，＝kAB，代入后求得kAB＝－＝－，所以弦所在的方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0.
【结论探究】在本典例中求过A(2,1)的直线l被椭圆截得的弦的中点轨迹方程．
解：设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)．
－得＝－＝－，
所以－＝，
化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分)．
直线与椭圆的位置关系
(2019·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2QB2，求直线l的方程．
解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．
因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，
所以B1AB2＝90°，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
由c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，
所以离心率e＝＝.
在RtAB1B2中，OAB1B2，
故SAB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.
由题设条件SAB1B2＝4得b2＝4，
所以a2＝5b2＝20.
因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程并整理得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－＋16＝－，
由PB2QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
1.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率．
2．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．
3．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝
(k为直线斜率)．
提醒：(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况．
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
(2019·郑州测试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．
解：(1)由题意知解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得消去y，化简整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
则由Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＞0，得－2＜m＜2.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，
因为kPA＝，kPB＝，
所以kPA＋kPB＝＋＝
，
上式中，分子＝(x2－2)＋(x1－2)
＝x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－4(m－1)
＝2m2－4＋(m－2)(－2m)－4(m－1)＝0.
所以kPA＋kPB＝0.
因为APB＝90°，所以kPA·kPB＝－1，
则kPA＝1，kPB＝－1.
所以PMN是等腰直角三角形，
所以|MN|＝2xP＝4.
1．(2018·全国卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P＝120°，则C的离心率为(D)
A． B．C． D．
解析：由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，
直线PF2的方程为y＝(x－c)．
联立得y＝(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝(a＋c)．
因为PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，PH＝(a＋c)，
所以sin60°＝＝＝，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝＝.故选D．
2．(2017·全国卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A)
A． B．C． D．
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
＝a，即2b＝，
a2＝3b2，a2＝b2＋c2，＝，e＝＝.
3．(2016·全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PFx轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(A)
A． B．C． D．
解析：由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝k(x＋a)，当x＝－c时，y＝k(a－c)，当x＝0时，y＝ka，所以M(－c，k(a－c))，E(0，ka)．如图，设OE的中点为N，则N，由于B，M，N三点共线，所以kBN＝kBM，即＝，所以＝，即a＝3c，所以e＝.故选A．
4．(2018·全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．
(1)证明：k＜－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，
于是k＝－.
由题设得0＜m＜，故k＜－.
(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝，
从而P，||＝，
于是||＝
＝＝2－.
同理，||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||，
即||，||，||成等差数列．
设该数列的公差为d，则2|d|＝|||－|||
＝|x1－x2|
＝.
将m＝代入得k＝－1，
所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程，并整理得
7x2－14x＋＝0.
故x1＋x2＝2，x1x2＝，
代入解得|d|＝.
所以该数列的公差为或－.
课时跟踪检测][A基础题——
1．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m＜n＜0)的焦点坐标是()
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
解析：选C化为标准方程是＋＝1，
m＜n＜0，0＜－n＜－m.
焦点在y轴上，且c＝＝.
2．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为()
A.＋＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1D.＋＝1
解析：选B椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝.
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
3．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是()
A. B.
C. D.
解析：选D＝2，||＝2||.又PO∥BF，＝＝，即＝，e＝＝.
5．(2019·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为()
A.＋＝1B.＋y2＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析：选C由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.
6．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析：选C如图所示，线段PF1的中垂线经过F2，|PF2|＝|F1F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c.a－c≤2c≤a＋c.e＝.
[B题——
1．(2019·武汉模拟)曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的()
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：选D曲线＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线＋＝1(k＜9)表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为.对照选项，知D正确．故选D.
2．(2019·德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且PF1F2的重心为点G，若|PF1||PF2|＝34，那么GPF1的面积为()
A．24 B．12
C．8 D．6
解析：选CP为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1||PF2|＝34，|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，|PF1|＝6，|PF2|＝8，又|F1F2|＝2c＝2＝10，易知PF1F2是直角三角形，SPF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，
PF1F2的重心为点G，S△PF1F2＝3SGPF1，GPF1的面积为8，故选C.
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()
A．2B.
C. D.
解析：选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.4．(2019·贵阳摸底)P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PFx轴，若tanPAF＝，则椭圆的离心率e为()
A.B.
C. D.
解析：选D不妨设点P在第一象限，因为PFx轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝，即|PF|＝，则tanPAF＝＝＝，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故选D.
5．(2019·长郡中学选拔考试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为()
A.B.
C. D.
解析：选B由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝a2，圆心D(a，0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为，将x＝代入圆D的方程得y＝±，不妨设点A在x轴上方，即A，代入椭圆C的方程可得＋＝1，所以a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝＝.
6．(2019·沙市中学测试)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有4个交点，以这4个交点为顶点的四边形的面积为8，则椭圆C的方程为()
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析：选C由题意知双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，由椭圆的对称性可知以这4个交点为顶点的四边形是正方形，由四边形的面积为8，知正方形的边长为2，所以点(，)在椭圆上，所以＋＝1.
又椭圆的离心率为，
所以＝，所以a2＝2b2.
由得a2＝6，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选C.
7．(2019·安阳模拟)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且·(＋)＝0(O为坐标原点)，若||＝||，则椭圆的离心率为()
A.－B.
C.－D.
解析：选A以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由·(＋)＝0知，此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，||＝||，F1PF2是直角三角形，即PF1PF2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，结合椭圆的性质和三角形勾股定理可得e＝＝＝－.故选A.
8．(2019·西宁复习检测)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为()
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选A椭圆的方程为＋＝1，a2＝4，b2＝3，c2＝1，B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，|PB|＝4－|PC|，|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.
9．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是()
A．[0,3) B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]解析：选B如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.
·＝0，⊥.
又MP为F1PF2的平分线，
|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
O为F1F2的中点，OM綊F2G.
|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
4－2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，
||∈(0,2)．
10．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P在椭圆上且满足·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析：选B设P(x，y)，则＋＝1，y2＝b2－x2，－a≤x≤a，＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)．
所以·＝x2－c2＋y2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.
因为－a≤x≤a，所以b2－c2≤·≤b2.
所以b2－c2≤c2≤b2.
所以2c2≤a2≤3c2.
所以≤≤.故选B.
11．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e＝，则实数k的值是________．
解析：当k＞4时，有e＝＝，解得k＝；当0＜k＜4时，有e＝＝，解得k＝.故实数k的值为或.
答案：或
12．(2019·湖北稳派教育联考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac＜0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析：c2－b2＋ac＜0，c2－(a2－c2)＋ac＜0，即2c2－a2＋ac＜0，2－1＋＜0，即2e2＋e－1＜0，解得－1＜e＜.又0＜e＜1，0＜e＜.椭圆的离心率e的取值范围是.
答案：
13.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
14．(2019·辽宁联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
解析：在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3,0)．根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|)．
|PM|－|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|－|PF2|)max＝＝5，此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5＝15.
答案：15
15．(2019·武汉调研)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1(a＞1，a)上，过O的直线交椭圆C于A，B两点，F为椭圆C的左焦点．
(1)若FAB的面积的最大值为1，求a的值；
(2)若直线MA，MB的斜率乘积等于－，求椭圆C的离心率．
解：(1)SFAB＝|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝＝1，所以a＝.
(2)由题意可设A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)，则＋y2＝1，＋y＝1，
kMA·kMB＝·＝＝＝＝－＝－，
所以a2＝3，所以a＝，所以c＝＝，
所以椭圆的离心率e＝＝＝.
16．(2019·广东七校联考)已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．
解：(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．由c＝2，a＝2，得b＝2.故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)＞0，则k＞0或k＜－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)＝4.
当直线l的斜率不存在时，得A，B.所以k1＋k2＝4.
综上，恒有k1＋k2＝4.
1
|
|
