广义相对论场方程诞生史：一场爱因斯坦与希尔伯特的究极竞赛

在20世纪前30年发生的那场影响深远的物理学革命中，量子力学是“众擎易举”。而狭义相对论可以说是“石破天惊”，这两者虽很不相同， 但似乎都是 “离了谁地球照样转”。 量子力学的提出是承袭普朗克的“量子假说”，狭义相对论的提出是历史的必然，它的目的是为了解决当时经典物理学中已经暴露的矛盾，如以太危机，稳固好物理大厦。

爱因斯坦与玻尔，相对论和量子力学

只有广义相对论是爱因斯坦一个人的战斗，这划破时代的伟大理论可以说如果没有爱因斯坦，即使再过几十年，也没有人能够提出。

爱因斯坦的晚年合作者、 波兰物理学家英菲尔德在《爱因斯坦： 他的工作及对我们世界的影响》 一书中曾经记述过一段有趣的对话：

……我曾对爱因斯坦说： “无论您是否提出， 我相信狭义相对论的问世都不会有什么延误， 因为时机已经成熟了。” 爱因斯坦回答说： “是的， 这没错， 但广义相对论的情形不是这样， 我怀疑直到现在也未必会有人提出。”

英菲尔德并且评论说， 这一回答很好地表述了爱因斯坦在广义相对论发展史上所扮演的角色。

这一点不仅有爱因斯坦本人与英菲尔德的上述对话作脚注， 也是很多其他物理学家的共同看法。 著名美国物理学家奥本海默在为纪念爱因斯坦逝世 10 周年而撰写， 后被收录于爱因斯坦诞辰 100 周年纪念文集《爱因斯坦——世纪文集》的题为 “论爱因斯坦” (On Albert Einstein) 的文章中， 就写过一段与英菲尔德的回忆有异曲同工之意的文字：

量子的发现必定会以这种或那种的方式出现…… 对没有任何信号能运动得比光更快的含义的深刻理解也必定会出现…… 直到今天仍未被实验很好证实的广义相对论则除他以外， 在很长很长时间内都不会有人能提出。

爱因斯坦之于广义相对论似乎已经毫无争议，但其实不然。

在广义相对论的诞生史中还是闪过一段非常有趣的插曲，那就是广义相对论中的核心方程-广义相对论场方程的提出。

这段插曲涉及到了两个人，一位当然是爱因斯坦，另外一位则是当时世界数学中心哥廷根学派的领袖，被誉为“数学之王”的希尔伯特。

曾经有一位著名的漫画家为那场无形的竞争画了一幅漫画，标题是：希尔伯特与爱因斯坦，谁先抵达？而这个“抵达”指的就是广义相对论场方程。

从1905年狭义相对论诞生之后，爱因斯坦开始探寻广义相对论，但却遭遇了困难，爱因斯坦研究广义相对论的目的是要找到描述两个相互交织过程的数学方程式——引力场如何作用于物质，使之以某种方式进行运动； 物质又如何在时空中产生引力场，使之以某种形式发生弯曲。然而爱因斯坦一直没有找到完美描述其物理原则的数学表达式。

所以爱因斯坦求助了希尔伯特，希尔伯特虽然是一名数学家，但是对于物理学却涉猎颇深，他一直将“物理学的公理化”作为自己研究的目标，简单而言，就是用一个公式可以表示自然界中所有的已知状态。

在1912年的时候， 希尔伯特在研究线性积分方程时， 就曾与爱因斯坦有过信件往来： 他向爱因斯坦索要过气体运动理论及辐射理论方面的论文， 并回赠过一本自己新出版的积分方程著作。 他也曾邀请爱因斯坦在 “哥廷根周” 期间访问哥廷根， 做一次有关气体运动理论的报告， 但爱因斯坦婉拒了。

在这一系列的信件往来之中，爱因斯坦向希尔伯特展示了自己的研究成果并透漏过自己所遭遇的困难，而这也为两人之间后来无形的竞争埋下了伏笔。

1914年，爱因斯坦正式出版了长达 56页的论文《广义相对论基础》，在里面提出了标量引力理论，而无论是爱因斯坦还是希尔伯特，都对论文中的标量引力理论不满意，认为它并非是一个可以完美描述其物理原则的数学表达式。

爱因斯坦《广义相对论基础》手稿

尽管还没有找到这样的表达式，但他们都认为一个普遍的协变相对论理论确实是必要和可实现的。

而要找到这个方程难度要求是非常高，因为他已经达到了“无人之地”，没有任何巨人的肩膀可依靠，爱因斯坦曾公开表达过：

我对我推导的场方程失去了信任，相反，我寻找一种以自然方式限制可能性的方法。在这一追求中，我达到了一般协方差的要求，三年前，当我和我的朋友格罗斯曼一起工作时，我怀着沉重的心情离开了这个要求。”

他们两个人的研究工作都在1915年取得了突破，1915年11月7日，爱因斯坦曾和希尔伯特进行过信件交流，通过希尔伯特的反馈，爱因斯坦在11月11日提出了一个大致协变的等式：

在和希尔伯特之后的多次信件交流之后，爱因斯坦在11月25日提出了最终的广义相对论场方程：

Guv是爱因斯坦张量；Ruv是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项，表示空间弯曲程度；R是从里奇张量缩并而成的曲率标量；guv是度规张量；Tuv是能动张量，表示了物质分布和运动状况；G是万有引力常数；c是真空光速。整个方程的意义是：整个方程式的意义是：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）。这个方程是一个二阶非线性张量方程 。

而希尔伯特提出场方程的时间则是在1915年11月20日。希尔伯特在哥廷根皇家科学院、作了有关引力理论的报告， 介绍了他的研究成果：

也就是说希尔伯特和爱因斯坦虽然形式不一样，但是都发现了正确的引力场方程，由此300年前牛顿和莱布尼茨微积分之争的一幕再度上演。

然而，虽然后人经常争论爱因斯坦和希尔伯特究竟谁先抵达，比如物理学家Kip Thorne在他的著作《黑洞与时间扭曲：爱因斯坦的离谱遗产》中明确表达了他的观点：“值得注意的是，爱因斯坦并不是第一个发现翘曲定律的正确形式的人。对第一次发现的认可必须归功于希尔伯特。“

爱因斯坦传记作者阿尔布雷希特·弗尔辛认为，虽然看似确信爱因斯坦和希尔伯特独立地得出了正确的形式，但是：

11月，当爱因斯坦完全专注于他的引力理论时，他基本上只与希尔伯特通信，向希尔伯特发送了他的出版物，并于11月18日感谢他撰写了他的文章草稿。爱因斯坦必须在写这封信之前立即收到那篇文章。爱因斯坦是否可以将目光投向希尔伯特的论文，他已经发现了他自己的方程式中仍然缺乏的术语，因此“借鉴”了希尔伯特？

尽管后人争论不休，但是希尔伯特本人却非常大方地让出了自己的功绩，并且向爱因斯坦表示了祝贺：

“爱因斯坦已经提出了深刻的思想和独特的概念，并发明了巧妙的方法来处理它们。”

1915年12月4日，希尔伯特甚至提名爱因斯坦当选为哥廷根数学学会会员。希尔伯特的大度让爱因斯坦十分感动，爱因斯坦于12月20日主动写信给希尔伯特提出和解：

我们之间有些怨恨，我不想再进一步分析其原因。我已经与痛苦的感觉作了斗争，并取得了成功。我再一次怀着无微不至的善意思念你，我请你也这样。客观上，如果两个从这个破旧的世界中解放出来的人没有给彼此带来快乐，那就太可惜了。

广义相对论场方程提出已经105年了，历史已经给了两人最公正的评价，美国物理学家派斯在他著名的爱因斯坦传记《上帝是微妙的》里就表示：

基本方程式的发现应同时归功于爱因斯坦和希尔伯特。

这段话可以说为爱因斯坦和希尔伯特在引力场方程的发现中所作出的成就盖棺定论了。不管怎么样，学术的争鸣促进了科学的进步，广义相对论场方程的提出具有重大的意义，被认为是科学界无尽的宝藏，众多科学家通过对广义相对论场方程求解得出了许多重要的理论。

像黑洞这种特殊天体就是通过求解场方程而被发现的。在广义相对论场方程中，爱因斯坦沿用的是传统的直角坐标系，所以对一个对称的、不自旋、不带电荷的有质量球体进行计算，只能给出一个近似解。但物理学家史瓦西则另辟蹊径，他引入的坐标系类似于极坐标系，从而可以得出精确解。

这个精确解被命名为“史瓦西度规”，这也正是广义相对论场方程的第一个精确解。

而在此基础之上，史瓦西发出了第二篇论文，其中给出了“史瓦西内解”，以及计算黑洞视界半径的公式，由此，黑洞的视界半径便被称为“史瓦西半径”，并把上述天体周围史瓦西半径处的想象中的球面，叫作视界。

简单来说，史瓦西设定了这样一个天体，它的电荷量为0，也就是它呈电中性，它的角动量为0，也就是不自转，宇宙常数也为0。这本可以用于描述地球和太阳之类自转缓慢的天体，但如果它的质量增大到足够大之后，它的逃逸速度将超过光速。这就意味着没有任何东西能够逃出它的魔掌，所以它本身也无法被看见。这种天体在后来被惠勒命名为“黑洞”。

除此之外，广义相对论场方程的解还有雷斯勒-诺德斯特洛姆度规，具有这样的度规形式的黑洞称为雷斯勒-诺德斯特洛姆黑洞；还有克尔度规，广义相对论中，克尔度规或称克尔真空，描述的一旋转、球对称之质量庞大物体（例如：黑洞）周遭真空区域的时空几何......

作为广义相对论的中心方程，广义相对论场方程还有许多未知的奥秘等着我们去探索。