椭圆的切线问题

       如图，直线和椭圆的位置关系有三种：

       分别是相离、相切、相交.我们一般是通过直线方程和椭圆方程联立，构造一元二次方程，利用判别式来判断直线和椭圆交点的个数.

       比如下面这道十年前的高考题：

       这道题常见的解法是：

       这个解法看起来是很简单的，不过“化简可得”这四个字背后的艰辛是谁化谁知道呀，如果一个同学计算能力不强，在考场上这道题放弃的可能性是很大的，因为他怕辛辛苦苦算出来之后没有选项，还不如猜个答案.

       而且高考中我们很少在一道小题中就联立直线和二次曲线，因为大题已经考了，小题一般是不重复考察的，所以这道题是不是就有一些别的方法呢？

       该题直线和椭圆只有一个交点，就是相切，如下图：

       直线和椭圆切于点P，直线上异于点P的一点Q，显然有|QF1|+|QF2|大于2a，所以P点是直线上所有点中到点F1和F2距离之和最小的点，所以只需作F1关于直线的对称点N，连接NF2，与直线的交点为P，所以2a的值为|NF2|的.

       如图：

       解答过程如下：

       这个方法只需要解二元一次方程组，比第一个方法要简单，但是缺点是很难想到.

       所以我们还是需要来探索一些更简单的方案：

       直线和圆的位置关系只需要通过圆心到直线距离与半径大小作比较，但是直线和椭圆做不到，那么可不可以把二者联系到一起呢？之前在通过几何画板学解析几何(一)——椭圆的九种画法中，我们介绍了椭圆其实可以通过圆压缩得到的，这个压缩专业地说就是伸缩变换，对于椭圆的伸缩变换，在选修四的坐标系与参数方程中有介绍，今天我们不从伸缩来阐述，就通过换元来说明：

       综上，直线和椭圆相切的问题，可以联立，也可以用导数，也可以背公式，但是有一个最漂亮的方法就是通过换元将椭圆换成了圆，虽然交点变了，但是个数没变.

       带着这样的想法，大家做做下面四道题：

第四题把点P用参数方程的形式表达出来，所以又有了一个新的证法.

答案：

1. [2,2sqrt(2)),0.    2.B     3.B