2.2函数的零点与方程专项练--1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,
那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.2.函数
F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.3.判断函数
零点个数的方法:(1)利用零点存在性定理判断法;(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与
函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调
性.--一、选择题二、填空题解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题2.(2019山东莱芜模拟)函数f(x)=ex
+lnx的零点所在的大致区间是()解析关闭解析答案解析答案关闭关闭--一、选择题二、填空题3.函数f(x)=2x--
a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)解析由条件可
知f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0、选择题二、填空题4.(多选题)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立.当x
1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题,其中所有正确命题为()A.f(3)=0B.直线x=-3是函数y=
f(x)的图象的一条对称轴C.函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数D.函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点解析关闭解析
答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题5.已知函数g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(
)A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)解析关闭解析答案解析答案关闭关闭--一、选择题二、
填空题6.(2019贵州凯里月考,文6)已知关于x的方程x2+(k-3)x+k2=0一根小于1,另一根大于1,则k的取值范围是(
)A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)解析设f(x)=x2+(k-3
)x+k2,定义域为R,∴关于x的方程x2+(k-3)x+k2=0一根小于1,另一根大于1,故只需f(1)<0即可,即1+k-3+
k2<0,解得-2=x+1,g(x)=lnx,若f(x1)=g(x2),则x2-x1的最小值为()A.1 B.2+ln2C.2-ln2 D.
2解析设f(x1)=g(x2)=t,所以x1=t-1,x2=et,所以x2-x1=et-t+1,令h(t)=et-t+1,则h''(
t)=et-1,所以h(t)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(0)=2.关闭解析答案D
解析答案关闭--一、选择题二、填空题8.(2019湖南六校联考,理10)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xlnx=1的解
,则x1x2等于()A.e B.1解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题9.(多选题)下面选项正确的有()
A.分针每小时旋转2π弧度B.在△ABC中,若sinA=sinB,则A=BC.在同一坐标系中,函数y=sinx的图象和函数y
=x的图象有三个公共点解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填
空题解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题12.(2019浙江卷,9)设a,b∈R,函数若函数y=f(x)-ax
-b恰有3个零点,则()A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0答案C--一、选
择题二、填空题--一、选择题二、填空题--一、选择题二、填空题13.(2019湖南郴州月考,文13)已知函数的零点为1,则实数a
的值为.?解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题14.(2019湘赣十四校联考二,文15)已知函数有且只有一个
零点,则实数a的取值范围是.?解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题15.已知函数f(x)的图象是如图所示的折
线段OAB,其中O(0,0),A(1,2),B(3,1),则解析关闭解析答案解析答案关闭--一、选择题二、填空题解析关闭解析
答案解析答案关闭1.(2019山东潍坊月考)若函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),1,内,则与f(0
)符号相同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.fC由题意得f(x)的零点在1,内,则f(0)与f(1)符号相同.A
.(-1,0)B.0,C.,1D.1,B因为f=-ln2>0,而f=-ln8<0,所以必在内有一零点.故选B.ABD令x=-3
,则由f(x+6)=f(x)+f(3)得f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),故f(3)=0.A正确;由f(3)=0,f(x
)为偶函数得f(-6-x)=f(x+6)=f(x)+f(3)=f(x),故直线x=-3是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,B正确
;该抽象函数图象草图如下:因为当x1,x2∈[0,3],x1≠x2时,有>0成立,故f(x)在[0,3]上为增函数,又f(x)为偶
函数,故在[-3,0]上为减函数,又周期为6.故在[-9,-6]上为减函数,C错误;函数f(x)周期为6,故f(-9)=f(-3)
=f(3)=f(9)=0,故y=f(x)在[-9,9]上有四个零点,D正确.故选ABD.f(x)=C要使得方程g(x)=f(x)+
x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,
必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.C.D.-1B考虑到x1,x2是函数y=ex
、函数y=lnx与函数y=的图象的公共点A,B的横坐标,而Ax1,,Bx2,两点关于y=x对称,所以kAB=-1,=-1,化简得
x1x2=1.D.函数f(x)=是奇函数BDA项中,分针为顺时针旋转,每小时应旋转-2π弧度,可知A错误;B项中,由正弦定理可知,
若sinA=sinB,则a=b,所以A=B,可知B正确;C项中,y=sinx和y=x在同一坐标系中的图象如下通过图象可知,y
=sinx和y=x有且仅有1个公共点,可知C错误;D项中,∵cosx≠-1,即x≠(2k+1)π,k∈Z,∴f(x)的定义域关
于原点对称.∵f(-x)==-=-f(x),∴f(x)为奇函数,可知D正确.故选BD.10.(2019湖南六校联考,文12)已知函
数f(x)=lnx-+a在x∈[1,e]上有两个零点,则实数a的取值范围是()A.,-1B.,1C.,-1D.[-1,e)A
∵f''(x)=,x∈[1,e].当a≥-1时,f''(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,不合题意.当a≤-e时,f''(x)≤
0,f(x)在[1,e]上单调递减,也不合题意.当-e单调递减;当x∈(-a,e]时,f''(x)>0,f(x)在(-a,e]上单调递增.又f(1)=0,所以f(x)在x∈[1,e]上有
两个零点,只需f(e)=1-+a≥0即可,解得a<-1.综上,a的取值范围是,-1.11.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x
∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-1.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga
(x+2)=0(a>1)至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(1,2)B.(2,+∞)C
.(1,)D.[,2)D∵对任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),∴f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2-2)=f(x
),∴f(x)是定义在R上的周期为4的函数.作函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下.结合图象可知,解得a<2,故选D.f
(x)=解析当x<0时,由x=ax+b,得x=,最多一个零点取决于x=与0的大小,所以关键研究当x≥0时,方程x3-(a+1)x
2+ax=ax+b的解的个数,令b=x3-(a+1)x2=x2x-(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发
现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系.①若(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过
,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意.②若(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也
不符合题意.③若(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以
有两个交点,且此时要求x=<0,故-1)=a=0或a>1当a>0时,函数y=ax-3(x>0)必有一个零点,又因为-<0,故a-2+2-+a>0,解之可得a>1;若a=
0时,f(x)=恰有一个零点;当a<0时,若x>0时,则f(x)=ax-3<0无零点,若x≤0,则f(x)=ax2+2x+a,此时
,f(x)恒小于0,所以当a<0时,f(x)无零点,故答案为a=0或a>1.f=,函数g(x)=f(x)-零点的个数为.?2
2∵f(3)=1,∴f=f(1)=2.令g(x)=f(x)-=0,所以f(x)=,观察函数f(x)的图象可以得到f(x)=有两
个解,所以g(x)=f(x)-零点的个数为2.16.(2019山东菏泽一模,理16)已知函数f(x)=log2x,g(x)=(a>
0),若对?x1∈{x|g(x)=},?x2∈[4,16],使g(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是.?[4,8]结合题意可得log24=2≤f(x)≤log216=4,要使得对?x1∈{x|g(x)=},?x2∈[4,16],使g(x1)=f(x2)成立,则要求g(x)的值域在[2,4]内,对g(x)求导得g''(x)=,当g''(x)>0,解得x<,结合该函数的定义域为[0,a],可知g(x)在0,单调递增,在,a单调递减,故g(x)在x=取到最大值,在x=0取到最小值,所以需要满足g≤4,且g(0)≥2,得到解得a∈[4,8]. |
|
