2.3热点小专题一导数的应用--一、考情分析从近几年高考客观题对导数应用的考查主要是:利用导数的几何意义求曲线的切线方程;利用导数研究函
数的零点,参数的取值范围;以实际问题、三角函数、几何体为载体的导数求最值问题.二、必备知识整合1.导数的几何意义函数y=f(x)在
点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f''(x0).2.常用的导数及求导法则--3.求曲线y=f(
x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程.(2)已知切线的斜率为k,求y=f(
x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f''(x0),解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求
y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f''(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0
,再由点斜式或两点式写出方程.4.利用导数研究函数单调性的方法(1)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不
等式f''(x)>0或f''(x)<0.(2)若已知函数的单调性,则转化为不等式f''(x)≥0或f''(x)≤0在单调区间上恒成立问题来
求解.--5.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f''(x)>0,右侧f''(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极
大值;若在x0附近左侧f''(x)<0,右侧f''(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]
上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.6.利用导数研究函数零点问题的思路(
1)求函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数,转化为两函数y=g(x),y=h(x)的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,
画出函数图象的变化趋势,数形结合求解.(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极
值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.--热点一热点二热点三热点四利用导数求曲线的切线例1(1)设函数f(
x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2x B.y=
-x C.y=2x D.y=x(2)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.?
解析关闭解析答案解析答案关闭--热点一热点二热点三热点四解题心得1.求切线方程需要两个条件,曲线在某点处的切线意味着该点在曲线
上,求该点的导数值即得切线的斜率.2.求经过点P(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线(斜率存在)的方程的关键:若点P是切点,则直
接利用求曲线在点P处的切线方程的思路去求解;若点P不是切点,则需先设切点的坐标(x0,y0),再根据得到切点的坐标,进而利用直
线的点斜式或两点式方程求出切线的方程.--热点一热点二热点三热点四对点训练1(2019江苏卷,11)在平面直角坐标系xOy中,点A
在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.?解析关闭解析答案解析
答案关闭--热点一热点二热点三热点四已知曲线的切线方程求参数的值例2若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=l
n(x+1)的切线,则b=.?解析关闭解析答案解析答案关闭--热点一热点二热点三热点四解题心得解已知曲线的切线方程求参数问题
的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,
又得一方程,联立求解即可.--热点一热点二热点三热点四对点训练2(2019山东潍坊二模,文13)若函数f(x)=x-alnx在点
(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a=.?解析关闭解析答案解析答案关闭--热点一热点二热点三热点四求参数的取值范围
(多维探究)类型一已知函数单调性求参数范围例3(1)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是
()A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)(2)若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单
调递增区间,则实数a的取值范围为.?解析关闭解析答案解析答案关闭--热点一热点二热点三热点四解题心得已知函数的单调性求参数范
围关键是转化,即“若函数单调递增,则f''(x)≥0;若函数单调递减,则f''(x)≤0”.--热点一热点二热点三热点四对点训练3(1
)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在区间(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是()答案(1)C(2)[e-
1,+∞)--热点一热点二热点三热点四--热点一热点二热点三热点四--热点一热点二热点三热点四--热点一热点二热点三热点四类型二
已知函数极值点求参数范围答案B--热点一热点二热点三热点四--热点一热点二热点三热点四--热点一热点二热点三热点四--热点
一热点二热点三热点四对点训练4设函数.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析关闭解析
答案解析答案关闭--热点一热点二热点三热点四类型三已知函数零点情况求参数值或范围例5已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-
1+e-x+1)有唯一零点,则a=()解析关闭解析答案解析答案关闭--热点一热点二热点三热点四解题心得已知函数零点情况求参数
值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什么范围满足零点情况的要求
.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数,因此解决此类问题要注重数形结合.--热点一热点二热点三热点四对点训练5(2019山东潍坊
三模,理12)已知函数与g(x)=2elnx+mx的图象有4个不同的交点,则实数m的取值范围是()答案C--热点一热点二
热点三热点四--热点一热点二热点三热点四--热点一热点二热点三热点四三角、几何体及实际问题中的最值例6(1)(2019山东德州一模
,理12)在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是()(2)已知函数f(x)=2sin
x+sin2x,则f(x)的最小值是.?--热点一热点二热点三热点四--热点一热点二热点三热点四(2)由题意可得T=2π是f(
x)=2sinx+sin2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sinx
+sin2x,得f''(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.--热点一热点二热点三热点四解题心得关
于三角函数、几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想
到用导数的方法求最值,问题就容易多了.--热点一热点二热点三热点四答案A--热点一热点二热点三热点四∴f''(x)化为g(t)=
-(1-t2)+2at+(4a-3)=t2+2at+4a-4;由题意知g(t)=t2+2at+4a-4≥0恒成立,其中t∈[-1,
1];当-a≤-1,即a≥1时,g(t)在区间[-1,1]上单调递增,--热点一热点二热点三热点四(1)(xm)''=m,(sin
x)''=cosx,(cosx)''=-sinx,(ex)''=ex,(lnx)''=,(ax)''=axlna,(logax)''
=.(2)[f(x)+g(x)]''=f''(x)+g''(x);[f(x)g(x)]''=f''(x)g(x)+f(x)g''(x);''=[
g(x)≠0].(1)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-a
x,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f''(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f''(0)=1.故切线方程为y=x.
(2)∵f''(x)=3ax2+1,∴f''(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).而
由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.(1)D(2)1设点A(x0,y0)
,则y0=lnx0,又y''=,当x=x0时,y''=,点A在曲线y=lnx上的切线为y-y0=(x-x0),即y-lnx0=
-1,代入点(-e,-1),得-1-lnx0=-1,即x0lnx0=e,得x0=e,y0=1,故点A(e,1).(e,1)对
函数y=lnx+2求导,得y''=,对函数y=ln(x+1)求导,得y''=设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点P1(x
1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y
1)在切线上,得y-(lnx1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这
两条直线表示同一条直线,所以解得x1=,所以k==2,b=lnx1+2-1=1-ln2.1-ln2f''(x)=1-,f''(1
)=1-=1-a,由题意得1-a=2,解得a=-1.-1(1)由f''(x)=k-,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f''(x)
≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,即k在x∈(1,+∞)上恒成立.又当x∈(1,+∞)时,0<<1,故k≥1.故选D.(2)因为f(
x)=x2-4ex-ax,所以f''(x)=2x-4ex-a.由题意,f''(x)=2x-4ex-a>0,即a<2x-4ex有解.令g
(x)=2x-4ex,则g''(x)=2-4ex.令g''(x)=0,解得x=-ln2.当x∈(-∞,-ln2)时,函数g(x)=
2x-4ex单调递增;当x∈(-ln2,+∞)时,函数g(x)=2x-4ex单调递减.所以当x=-ln2时,g(x)=2x-4
ex取得最大值-2-2ln2,所以a<-2-2ln2.(1)D(2)(-∞,-2-2ln2)A.[-1,1]B.-1,C
.-D.-1,-(2)设f(x)=ex(lnx-a),若函数f(x)在区间,e上单调递减,则实数a的取值范围为.?解析(1)
由题意可知,f''(x)=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+因为f(x)在R上单调递增,所以f''(x)=-
cos2x+acosx+0在R上恒成立.(方法一)则由题意可得,当cosx=1时,f''(x)≥0,当cosx=-1时,f''(
x)≥0,即解得-a(方法二)令t=cosx∈[-1,1],当t=0时,>0恒成立;当0''(t)=>0,所以h(t)在(0,1]上单调递增.所以h(t)max=h(1)=-所以a≥-当-1≤t<0时,at-令g(t)=
t-,则g''(t)=>0,所以g(t)在[-1,0)上单调递增.所以g(t)min=g(-1)=,所以a综上,-a(2)由题意可得
f''(x)=exlnx+-a≤0在,e上恒成立.因为ex>0,所以只需lnx+-a≤0,即a≥lnx+在,e上恒成立.令g(
x)=lnx+因为g''(x)=由g''(x)=0,得x=1.则g(x)在,1内单调递减,在(1,e)内单调递增,g=ln+e=e-
1,g(e)=1+,因为e-1>1+,所以g(x)max=g=e-1.故a的取值范围为[e-1,+∞).例4(2019山西吕梁一模
,理11,文12)函数f(x)=lnx+x2-ax(x>0)在区间,3上有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是()A.,3B
.C.D.2,解析∵f(x)=lnx+x2-ax(x>0),∴f''(x)=+x-a(x>0).∵函数f(x)=lnx+x2-
ax(x>0)在区间,3上有且仅有一个极值点,∴y=f''(x)在区间,3上只有一个变号零点.令f''(x)=+x-a=0,得a=+x
.令g(x)=+x,x∈,3,则g(x)在区间,1上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=2,又g=,
g(3)=结合函数g(x)=+x,x∈,3的图象可得,当a<时,y=f''(x)在区间,3上只有一个变号零点.∴实数a的取值范围为.
故选B.解题心得解决已知函数极值点求参数范围问题一要注重转化,如本例中f(x)在,3上有且仅有一个极值点的转化;二要注重数形结合,
如本例中g(x)=+x的值域是2,,若a的值为2.2,则f''(x)=+x-a的值在区间,1上先正后负,在(1,3]上先负后正,因此
函数f(x)在,3上有两个极值点.Df(x)=sin∵x0是f(x)的极值点,∴f''(x0)=0,即cos=0,得x0=kπ+,k
∈Z,即x0=mk+m,k∈Z.+[f(x0)]2问题成立,只需存在k∈Z,使1-成立即可.又的最小值为,∴1-,解得m<-2或m>2.故选C.A.-B.C.D.1C∵f(x)=x
2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4
x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图
象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=A.
(-4,0)B.,2C.0,D.(0,2)f(x)=解析函数f(x)=与g(x)=2elnx+mx的图象有4个不同的交点,即为
mx=-2elnx,即m=(x>0且x≠e)有4个不相等的实根.设h(x)=,则h''(x)=由h''(x)=0,可得x=2eln
x或3x=2elnx或x=e(舍去).由y=的导数为y''=,当x>e时,函数单调递减;当0在x=e处取得极大值,且为最大值,则x=2elnx有两解,3x=2elnx无解.当x=2elnx,可得m=0,即为h(x)的
最小值,由x→+∞,0,可得,可得当00且x≠e)有4个不等实根,故选C.A.B.C.D.答案(1)A(
2)-解析(1)因为AD=DB=AC=CB=1,所以△ACD与△BCD全等.如图,取AB中点E,连接CE,DE,设AB=2x(
0,当x∈,1时,V为减函数.故当x=时,V有最大值Vmax=3=令f''(x)=0,可得cosx=或cosx=-1,x∈[0,2
π)时,解得x=或x=或x=π.因为f(x)=2sinx+sin2x的最值只能在x=,x=,x=π或x=0时取到,且f,f=-
,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-对点训练6(2019山东泰安二模,文12)若函数f(x)=(cosx+
sinx)(cosx-sinx-4a)+(4a-3)x在区间0,上单调递增,则实数a的取值范围为()A.a≥B.
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