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“三角学trigonometry”是“三角形triangle”和“测量gonometry”两词的组合，原意为三角形的测量，或者说解三角形。这是亚历山大时期希腊定量几何学中的一门完全新的学科。 三角学是那个确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的。很可能埃及人早已发现三角形的不同元素之间具有某种关联，但首先看到有必要建立三角形的边和角之间的精确关系的是希腊人。 由于人们想建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置，帮助报时、计算日历、航海和研究地理，三角学应运而生。其中，球面三角学的研究先于平面三角学。 一、三角学的孕育 在亚历山大时期，古典时期纯粹的几何语言描述的局限性逐渐开始显现，特别是在埃拉托斯特尼与阿利斯塔克对天文学的研究中，对“角度与弦长的系统知识”的需求变得越加迫切。 阿利斯塔克（Aristarchus，公元前310年-公元前230年）是来自萨摩斯岛的天文学家和数学家，是史上有记载的首位提倡日心说的天文学者，比哥白尼的学说早1500多年，被誉为“希腊的哥白尼”。 阿里斯塔克斯的日心地动说 在他的一篇名为《论太阳和月亮的大小和距离》的文章里写道：当月亮刚好半满的时候，太阳和月亮的视线之间的夹角小于四分之一圆的三十分之一。用现代语言来说，这意味着月亮与太阳的距离之比是sin3°，阿利斯塔克利用他那个时代的定理，得出这个值的范围在1/20到1/18之间，于是他断言：地球与太阳的距离之比大于它与月亮的距离18倍，但小于20倍。这个结果跟现代的“约400倍”相差甚远，但是阿利斯塔克的计算方法是无懈可击的，错就错在观察结果上：视线的夹角应该是1/6°而不是3°。不过总比欧多克索斯的9倍和菲迪亚斯（阿基米德的父亲）的12倍要好些。 不仅如此，阿利斯塔克还利用他的观察计算出了太阳、月亮、地球的直径之比，虽然结果与真实相差甚远，但其中涉及到的数学特别是三角知识，绝对具有标志性。 仅仅得到大小的比值当然不够，人类还想得到太阳月亮的确切大小，所需要的自然是地球的大小数据，于是，对地球半径的测量就变得必要起来。亚里士多德曾经得到的半径为40000英里，还有一些人的结果是30000英里。一个更为准确、也更为著名的计算要归功于埃拉托斯特尼。埃拉托斯特尼注意到，夏至那天的正午，太阳的光线直射进塞尼（Segni）城的一口深井里，而在同一时间、同一经线上的亚历山大城，太阳光的投影表面：太阳距离定点之间的角度是圆的五十分之一，如下图所示： 这意味着∠S'AZ是圆的五十分之一，自然弧长AS也是地球周长的五十分之一，测出塞尼城与亚历山大城之间的距离，就能得到地球的周长，大约为25000英里。 阿利斯塔克和埃拉托斯特尼的工作已经让大家感觉到，是有必要建立起专门的“角度”的学科了。 二、三角学的创立 希帕恰斯、梅涅劳斯和托勒密的工作创立了三角学。 1.希腊三角学的奠基人——希帕恰斯 希帕恰斯（Hipparchus，约公元前200年-前125年）是亚历山大时期伟大的天文学家和数学家，他可能出生在比提尼亚（Bithynia）的尼西亚（Nicaea，即今土耳其伊兹尼克Iznik），生活于罗得斯（Rhodes）和亚历山大。他的卓越贡献是创立了三角学，使希腊天文学由定性的几何模型变成定量的数学描述，使天文观测有效的进入宇宙模型之中。自欧多克索斯发明同心球模型用以“拯救”天文现象以来，通过球的组合再现行星的运动，已成为希腊数理天文学的基本方法。但传统的方法存在两个问题：首先人们还不知道如何在球面上准确表示行星的位置变化；其次，传统的同心球模型不能解释行星亮度的变化。希帕恰斯解决了这两个重要的问题。 通过创立三角学，希帕恰斯解决了第一个问题。根据相似三角形的比例原理，以任一锐角为一角所组成的任何直角三角形，其对边与斜边之比、对边与邻边之比、邻边与斜边之比是一个常数，所以这些比是角的函数，与边长无关。人们为方便起见就把这些比分别称作正弦、正切、余弦，是为三角函数。希帕恰斯第一次全面运用三角函数，并推出了有关定理。更为重要的是，他制定了一张比较精确的三角函数表，以利于人们在实际运算中使用。 希帕恰斯按照亚历山大的许普西克尔斯（Hypsicles，约公元前150年）在其《论恒星的升起》一书中和公元前最后几个世纪的巴比伦人所做的那样，把圆周分为360°，把它的一直径分为120份。圆周和直径的每一分度再分成60份，每一小份再继续按照巴比伦人的60进制往下分成60等份。于是对于有一定度数的给定的弧，希帕恰斯给出了相应弦的长度数——相当于今天的正弦函数。 若弧AB的圆心角是2α，则按今天的说法有sinα=AC/OA。希帕恰斯给出的则不是sinα而是当OA分成60份时2AC所含的长度数。例如，若2α的弦含40份，则按今天的说法有sinα=20/60，或更为一般的形式：sinα=1/120（2α所对弦）。 把平面三角术推广到球面上去，也是希帕恰斯的工作，因为他的最终目的在于计算行星的球面运动。 解决第二个问题的方法是抛弃同心球模型，创立本轮-均轮体系。一般人都知道这套体系是托勒密体系，但最早的发明者实际上是希帕恰斯。每个行星有一个大天球，它以地球为中心转动，这个天球叫均轮。但行星并不处在均轮上，而是处在另一个小天球之上，这个小天球的中心在均轮上，叫本轮。行星既随本轮转动，又随均轮转动，这样可以模拟出比较复杂的行星运动。此外，希帕克斯还引入了偏心运动，即行星并不绕地球转动，而是绕地球附近的某一空间点转动。 2.希腊三角学的顶峰——梅涅劳斯 梅涅劳斯（Menelaus，约98年）的主要著作是《球面学Sphaerica》，也是第一部三角学的系统作品。他还写了《圆上的弦Chords in a Circle》和关于黄道带弧的下沉（或升起）的著作。 现存阿拉伯译本的《球面学》分为三篇。第一篇是研究球面三角的，其中有球面三角形的概念，即是球面上由小于半圆的三个大圆弧所构成的图形。书中证明了可以类比平面三角形的相关定理，如：球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两直角，球面三角形的等边对等角。然后证明了平面三角形里所不能类比的一个定理：若两球面三角形的三个角彼此对应相等，则此两球面三角形全等。他还列出别的全等形定理和等腰三角形定理。 第二篇主要讲天文学，只是间接涉及球面几何。 第三篇含有一些球面三角的内容，并把它建立在该篇第一个定理（著名的梅涅劳斯定理）的基础上。 该定理的证明要依据平面三角形的梅涅劳斯定理。 第三篇的定理2（记三角形ABC的角对应弧为a）可表述为：若ABC及A`B`C`为两球面三角形，且若A=A`、C=C`（或C与C`互补），则sinc/sina=sinc`/sina`。 定理5利用了弧的一个性质：若有四个大圆弧从一点O发出，而ABCD与A`B`C`D`是与四者相交的大圆弧，则有 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。 3.希腊三角学的应用大全——托勒密
“像我一样的凡人，短暂的一生不过一瞬。但每当看到繁密的银河下群星扫过的优雅轨迹，我心中便充满了宁静的喜悦，就好像我和它们融为了一体。” 克罗狄斯·托勒密（Claudius Ptolemaeus，约90年—168年），相传生于埃及的托勒马达伊（(Ptolemais Hermii），在亚历山大艺术宫生活和工作的天文学家、地理学家、占星学家和光学家。一生着述甚多，其中《至大论Almagest》（13卷），是根据喜帕恰斯的研究成果写成的一部西方古典天文学百科全书，主要论述宇宙的地心体系，认为地球居于中心，日、月、行星和恒星围绕着它运行。此书在中世纪被尊为天文学的标准著作，直到16世纪中哥白尼的日心说发表，地心说才被推翻。
亨廷顿图书馆收藏的1528年威尼斯印刷本《至大论》 托勒密在《至大论》中继承了希帕恰斯和梅涅劳斯在三角和天文方面的工作，里面全部是数学性质的内容，只是在驳斥阿利斯塔克所提出的太阳中心说时他才应用了亚里士多德的物理学。他说只有以虚心求知的态度获得的数学知识才能给人以可靠的知识，因此他要尽其所能来培育这门理论学科。托勒密又说他想把他的天文学建立在“不容置辩的算术和几何方法”的基础之上。 《至大论》第一篇第9章开头就计算圆弧（360份中的若干份）的一些弦的长，从而充实了希帕恰斯和梅涅劳斯的工作。他先计算36°弧和72°弧的对应弦。
ADC是以D为中心的圆的至今，BD垂直于ADC。E是DC的中点，并取F使EF=EB。托勒密用几何方法证明FD等于圆内接十边形的一边，BF等于圆内接正五边形的一边。但ED含30分，BD含60份。由于EB²=ED²+BD²，EB²=4 500，于是EB=67 4`55``（这表示67+4/60+55/60²份），FD=EF-DE=67 4`55``-30=37 4`55``（即36°弧的对应弦）。然后算出BF=70 32`3``（即72°弧的对应弦）。 因为正六边形的边长等于半径，所以60°弧的对应弦长是60份。再根据内接正方形算出90°弧的对应弦长是84 51`10``，根据内接正三角形算出120°弧的对应弦长为103 55`23``。
利用直径AC上的直角三角形，则若知BC弧的弦，便能得出其相补弧AB的弦。例如已知36°弧的弦，即可得出144°弧的弦为114 7`37``。当A为任一锐角时，该关系就相当于sin²A+cos²A=1。 接着托勒密证明一引理（托勒密定理）：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，下图左。然后托勒密利用下图右所示一边为直径的特殊四边形求出两弧之差的弦（BC弧=AC弧-AB弧），即已知sinA和sinB，就可算出sin（A-B）。
其次，指出怎样从圆的任一给定弦求出相应半弧的所对弦。用现代术语即从sinA求sinA/2。再指出若已知AB弧的弦和BC弧的弦，就可得AC弧的弦，即sin（A+B），包括从sinA求sin2A的特例。 由于托勒密能从12°的弦平分数次得出（3/4）°弦，故他能给任一已知弦所对的弧加上或减去（3/4）°；并能用上述定理来算这样的两段弧之和或差所对应的弦。这样就能算每两个相差（3/4）°的所有的弧。为了得出每步相差为（1/2）°的弧所应对的弦，他很聪明地使用不等式来推理，得出（1/2）°的弦的近似值为0 31`25``。 于是他能把0°到180°间所有相差（1/2）°所对应的弦都算出并列成表。这是第一个三角函数表。 然后托勒密在第一篇第11章中着手解决需要求出球面大圆上一些弧的天文问题。这些弧是球面三角形的边，其中有些边是通过观测或先前计算已经得出的。为定出这些弧，托勒密证明了球面三角定理中的一些关系式。 《至大论》把三角学定了型，并于此后一千多年保持不变。
下一讲亚历山大后期的几何。 |
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