带通抽样定理的理解

号令风云 2020-02-04

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带通信号抽样速率的一统性研究（篇二）:带通抽样定理的理解

写在前：

本篇是《带通信号抽样速率的一统性研究》的篇二，基础知识部分。主要从频域角度对低通抽样定理进行了介绍。

上一篇我们探讨了对低通信号的抽样和恢复：低通抽样定理的理解。在实际工程中经常遇到带通型信号，即频谱不是从直流开始，而是在 $f_L \backsim f_H$ 的一段频带内的信号。设信号带宽 $B=f_H-f_L$ ，通常把 $f_L>B$ 的信号称为带通信号。

现在我们给定带通信号 $m(t)$ ，其频谱 $M(f)$ 位于 $f_L\leq f\leq f_H$ 上，带宽为 $B=f_H-f_L$ ，如果以抽样间隔 $T_s$ （即速率 $f_s$ ）进行抽样，要求从抽样序列 $\big\{m_n=m(nT_s)，n=0,\pm1,\pm2,…\big\}$ 中能够完全还原 $m(t)$ ，那么 $T_s$ （或 $f_s$ ）应该如何选取？

显然，按照带限信号抽样定理，使 $f_s>2f_H$ ，上述要求是可以满足的。然而，下面将说明，使 $f_s$ 为 $\big[2B,4B\big]$ 之间的某些值也是可行的。由于很多时候 $f_H\gg B$ ，使我们即将阐述的这个结论给出的 $f_s$ 比按照低通抽样定理给出的低很多，因而，这一结论是很有用的。从前面的分析可见，抽样过程使频谱按 $f_s$ 重复，而正确的抽样的信号是频谱重复过程中不能相互交叠。依据这一想法，下面分两种情形来讨论。

1、 $f_H$ 是 $B$ 的整数倍

这时 $f_H=nB$ ， $n$ 为某正整数。图1以 $n=3$ 为例示意了这种情形，图中分别示出了带通信号的正负频率部分按 $f_s=2B$ 的重复过程，易见它们彼此恰巧错开，所有的重复频谱部分不会发生交叠，于是，只要取 $f_s=2B$ ，可以正确抽样。
在这里插入图片描述
$图1\ f_H=nB的情形$

2、 $f_H$ 不是 $B$ 的整数倍

不妨记 $f_H=nB+pB$ ，其中 $0$ 。这时可适当下移 $f_L$ ，将带宽扩展为 $B'$ ，使 $f_H$ 是 $B'$ 的整数倍，即 $f_H=nB'=n[B(1+\frac{p}{n})]$
可见 $B'=B(1+p/n)$ 。而后可按情形1，取抽样速率 $f_s=2B'$ 就可以正确抽样。

综上所述，得出带通信号的抽样原则：对于一般带通信号，不妨设 $f_H=nB+pB$ （其中 $n=[f_H/B]$ ， $n$ 是至少为1的正整数，而 $0\leq p<1$ ，等于零的表达已经将低通信号视为一种带通信号）， $f_s$ 的选取原则为 $f_s=2B'=2B(1+\frac{p}{n})=\frac{2f_H}{n}$
可见， $2B\leq f_s<4B$ 。

又由图1.（b）易见，由 $M_s(f)$ 还原 $M_(f)$ 的方法是使用带通滤波器（BPF），即 $m(t)=BPF[m_s(t)]$
其中，BPF应该对准频率范围： $f_L\leq\mid f\mid\leq f_H$ 。

最后注意到，低通抽样的条件为范围 $f_s>2B$ （参见上一篇低通抽样定理的理解），而带通抽样的条件的精确值 $f_s=2B(1+p/n)$ 。其实，带通抽样的条件通常也是某些范围，而 $f_s=2B(1+p/n)$ 是这个范围的下限值，从下面的例题可以看到这一点。

在这里插入图片描述

注意到“带通抽样的条件通常也是某些范围，而 $2B(1+\frac{p}{n})=\frac{2f_H}{n}$ 是这个范围的下限值”，这很容易接受，那么这个范围会是怎样的情况和形式呢，我忍住不作出了进一步的探究。参见下一篇博文，我的个人探究部分：带通信号抽样速率的一统性研究。得出：抽样速率范围是彼此分离的子区间的集合，低通和带通抽样定理包含于这个一统性结论。（哈哈，码了这么久铺垫，终于要写我的个人探究部分啦！）