判别式法解题

提要

通过学习一元二次方程根的判别式，可以提高数学知识的应用技巧，辨明数学知识间必然的联系，形成良好的思维品质和提高解决数学问题的能力，为后续学习打下良好的基础。

知识全解

一．判别式法的概念

二．判别式的主要应用

(1)不解方程，直接判定方程根的情况

(2)根据方程的根，确定方程中各项系数或常数项的取值范围，或判别一元二次方程根的性质

(3)利用一元二次方程的根与系数的关系，求方程中的参数或方程的根

二次函数与判别式的关系

1.当△>0 二次函数的图像与x轴有两个不同的交点

2.当△=0 二次函数的图像与x轴有且仅有一个交点

3.当△<0 二次函数的图像与x轴没有交点

学法指导

类型1 利用判别式解决一元二次方程

类型2 利用判别式解决二次函数问题

链接中考

考点1 不解方程，判定方程根的情况

例1 下列方程有两个相等的实数根的是（）

【解析】通过计算各个选项一元二次方程中的判别式，只有选项C中的判别式等于0，故选C

【点评】一元二次方程有无实数根，实数根是否相等，决定因素是判别式：当判别式大于零时有两个不相等的实数根；等于零时有两个相等实数根；小于零时没有实数根。

考点2 确定字母系数的取值范围（或值）

考点3 证明含字母系数的方程的根的情况

例3 己知关于x的一元二次方程(x-3)（x-2）=|m|。

(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一根

考点4 判别三角形的形状

考点5 二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数的关系