1月31日作业数列、等差数列与等比数列(小题)热点一等差数列、等比数列的基本运算1．等差数列、等比数列的基本公式(n∈N)等差数列的通项
公式：an＝等比数列的通项公式：an＝等差数列的求和公式：Sn＝等比数列的求和公式：Sn＝2．等差数列、等比数列问题的求解策略(1
)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数
列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置
，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．例1(1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知
{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n的值为_
_______．(2)(2019·咸阳模拟)正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则＋
的最小值是________．跟踪演练1(1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2＋a3＝10，S
6＝54，则该数列的公差d为()A．2B．3C．4D．6(2)(2019·吕梁模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和，a
2＝1，a＝2a7，则S6等于()A．31B.C．63D.(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1
，则使得Sn>0成立的n的最大值为________．热点二等差数列、等比数列的性质1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，
p，q，k∈N)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a.2．前n项和的性质：(
1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列
(q＝－1且m为偶数情况除外)．(2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.例2(1)(2019·潍坊模拟)在等差数
列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于()A．126B．130C．147D．210(2
)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等八校联考)已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2019＝1，则
f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2019)等于()A．2019B.C．2D.(3)已知数列{an}的各
项都为正数，对任意的m，n∈N，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2
a7＝________.跟踪演练2(1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然
数n，都有＝，则等于()A.B.C.D.(2)已知等比数列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，则等于()A．2B．4
C．6D．8(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40等于()A．－510
B．400C．400或－510D．30或40热点三等差数列、等比数列的综合问题解决数列的综合问题的失分点(1)公式an＝Sn－
Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公式Sn＝只适用于q≠
1的情况．例3(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比数列，则m＝___
_____.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋b
n，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于()A．1062B．2124C．1101
D．1100跟踪演练3(1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a2，a4
，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N)，数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N)，则数列{cn}
的前3项和为()A．31B．34C．62D．59(2)(2019·北京房山区期末)Sn为数列{an}的前n项和，其中an
表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数有1,2,3,6，则a6＝3；15的因数有1,3,5,15，则a15＝15.那么
S30等于()A．240B．309C．310D．345热点四数列的递推关系由递推关系式求数列的通项公式常用的方法(1)求
出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；(2)将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加
法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系数法(适用于an＋1＝pan＋q型)求通
项公式．例4(1)(2019·榆林模拟)已知正项数列{xn}满足xn＋2＝，n＝1,2,3，…，若x1＝1，x2＝2，则x20
19＝________.(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝a
n(an＋1)，若＝100，则整数n等于()A．99B．100C．101D．102跟踪演练4(1)数列{an}满足an＋
1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项和为()A．－100B．100C．－110D．110(2)(2019·
漳州模拟)已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2
SnSn＋1＋anbn＋1＝0，则S2019等于()A．2019B.C．4037D.真题体验1．(2015·全国Ⅰ，
文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于()A.B.C．10D．1
22．(2015·全国Ⅱ，文，9)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.
D.3．(2019·全国Ⅰ，文，14)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.押题预测1
．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2019，则m＝________.2．在等差数列{an}中
，a8＝a10＋1，则数列{an}的前11项和S11＝________.3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a1＝8，当
a4取最小值时，数列{na}的前n项和Sn＝________.答案热点一等差数列、等比数列的基本运算1．等差数列、等比数列的基本
公式(n∈N)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d；等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.等差数列的求和公式：Sn＝
＝na1＋d；等比数列的求和公式：Sn＝2．等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q；(2)熟悉
一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形
式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．例
1(1)(2019·福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学四校联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝156，a2
＋a4＋a6＝147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值时n的值为________．答案20解析设等差数列的公差为
d，由a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，作差得3d＝－9，所以d＝－3，所以数列{an}为递减数列，又a1＋a3
＋a5＝3a1＋6d＝3a1－18＝156，解得a1＝58，所以an＝58－3(n－1)＝61－3n，n∈N.由an≥0得，61
－3n≥0，即n≤20，n∈N，所以a20>0，a21<0，所以当n＝20时，Sn取最大值．(2)(2019·咸阳模拟)正项等比
数列{an}中，存在两项am，an，使得＝2a1，且a6＝a5＋2a4，则＋的最小值是________．答案4解析数列an是正
项等比数列且q≠1，由a6＝a5＋2a4，得q2＝q＋2，解得q＝2(负根舍去)．由＝2a1，得2m＋n－2＝22，m＋n＝4.故
＋＝··(m＋n)＝≥＝(10＋6)＝4，当且仅当即时等号成立．跟踪演练1(1)(2019·长春模拟)等差数列{an}中，Sn是
它的前n项和，若a2＋a3＝10，S6＝54，则该数列的公差d为()A．2B．3C．4D．6答案C解析由题意知S6＝a
1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝54，即a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝18,2d＝a2＋a5－(a2＋a3)＝8，所以d＝
4.(2)(2019·吕梁模拟)Sn为等比数列{an}的前n项和，a2＝1，a＝2a7，则S6等于()A．31B.C．63
D.答案B解析设数列{an}的公比为q，则解得所以S6＝×＝.(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，
则使得Sn>0成立的n的最大值为________．答案9解析因为a1＝9，a5＝1，所以公差d＝＝－2，所以Sn＝9n＋n(n
－1)(－2)＝10n－n2，令Sn>0，得00成立的n的最大值为9.热点二等差数列、等比数列的性质1
．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有a
man＝apaq＝a.2．前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm
，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．(2)对于等差数列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1
.例2(1)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，则数列{an}的前9项和S9等于()A．12
6B．130C．147D．210答案A解析∵在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝42，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝4
2，解得a5＝14，∴数列{an}的前9项和S9＝(a1＋a9)＝9a5＝126.(2)(2019·西安陕师大附中、西安高级中学等
八校联考)已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2019＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(
a2019)等于()A．2019B.C．2D.答案A解析∵a1a2019＝1，∴f(a1)＋f(a2019)＝
＋＝＋＝＋＝2，∵{an}为等比数列，则a1a2019＝a2a2018＝…＝a1009a1011＝a＝1，∴f(a2)＋f
(a2018)＝2，…，f(a1009)＋f(a1011)＝2，f(a1010)＝1，即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)
＋…＋f(a2019)＝2×1009＋1＝2019.(3)已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N，am·an＝
am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.答案21解析令m＝
1，∵am·an＝am＋n，∴a1·an＝a1＋n，又an>0，∴数列{an}为等比数列．由a3·a5＋a4＝72，得a＋a4＝7
2，∵a4>0，∴a4＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2a＝log2
87＝21.跟踪演练2(1)(2019·鞍山模拟)等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若对一切自然数n，都有＝
，则等于()A.B.C.D.答案D解析＝＝＝＝.(2)已知等比数列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，则等于()A．
2B．4C．6D．8答案A解析设数列{an}的公比为q.∵数列{an}是等比数列，∴a6a8＝a＝8，∴a7＝2(与a5
同号)，∴q2＝＝，∴＝q4＝()2＝2.(3)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝130，则S40
等于()A．－510B．400C．400或－510D．30或40答案B解析∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S1
0，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列，∴10×(130－S20)＝(S20－10)2，解得S20＝40或
S20＝－30(舍)，故S40－S30＝270，∴S40＝400.热点三等差数列、等比数列的综合问题解决数列的综合问题的失分点(
1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提；(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q＝1或q≠1的情况，公
式Sn＝只适用于q≠1的情况．例3(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等
比数列，则m＝________.答案15解析设等差数列的公差为d，则故所以an＝2n－3，n∈N.由a＝a3am，得92＝3
(2m－3)，所以2m－3＝27，所以m＝15.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Tn，a3＝4，T6＝27，数列{bn}满足
bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，设cn＝an＋bn，则数列{cn}的前11项和S11等于()A．1062
B．2124C．1101D．1100答案C解析设数列{an}的公差为d，则解得∴数列{an}的通项公式为an＝n＋
1.当n≥2时，bn＋1－bn＝bn，∴bn＋1＝2bn，即数列{bn}从第二项起为等比数列，∴bn＝2n－2(n≥2)，∴数列{
bn}的通项公式为bn＝分组求和可得数列{cn}的前11项和S11＝(2＋3＋4＋…＋12)＋(1＋1＋2＋22＋…＋29)＝77
＋210＝1101.跟踪演练3(1)(2019·黄冈、华师附中等八校联考)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝3，且a
2，a4，a7成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＝2n(n∈N)，数列{cn}满足cn＝anbn(n∈N)，则数列
{cn}的前3项和为()A．31B．34C．62D．59答案B解析由于a2，a4，a7成等比数列，故a＝a2·a7，即
(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于a1＝3，解得d＝1，故an＝n＋2.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝2n－2
n－1＝2n－1，当n＝1时，b1＝S1＝21＝2，故bn＝故cn的前3项和为a1b1＋a2b2＋a3b3＝3×2＋4×2＋5×4
＝34.(2)(2019·北京房山区期末)Sn为数列{an}的前n项和，其中an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：6的因数
有1,2,3,6，则a6＝3；15的因数有1,3,5,15，则a15＝15.那么S30等于()A．240B．309C．310
D．345答案C解析an表示正整数n的所有因数中最大的奇数，∴an＝a2n，且n为奇数时，an＝n，∴S30＝1＋1＋3＋1
＋5＋3＋7＋1＋9＋5＋11＋3＋13＋7＋15＋1＋17＋9＋19＋5＋21＋11＋23＋3＋25＋13＋27＋7＋29＋15
＝(1＋3＋5＋…＋29)＋(4＋9＋10＋14＋9＋11＋13＋15)＝(1＋29)×15＋85＝225＋85＝310.热点四
数列的递推关系由递推关系式求数列的通项公式常用的方法(1)求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证)；(2)将已
知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式，或用累加法(适用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(适用于an＋1＝an·
f(n)型)、待定系数法(适用于an＋1＝pan＋q型)求通项公式．例4(1)(2019·榆林模拟)已知正项数列{xn}满足xn
＋2＝，n＝1,2,3，…，若x1＝1，x2＝2，则x2019＝________.答案2解析根据题意，数列{xn}满足xn＋
2＝，若x1＝1，x2＝2，则x3＝＝＝2，x4＝＝＝1，x5＝＝，x6＝＝，x7＝＝1，x8＝＝2，则数列{xn}的周期为6，x
2019＝x3＋336×6＝x3＝2.(2)(2019·永州模拟)设[x]表示不超过x的最大整数，已知数列{an}中，a1＝2，
且an＋1＝an(an＋1)，若＝100，则整数n等于()A．99B．100C．101D．102答案C解析因为an＋1
＝an(an＋1)＝a＋an，所以an＋1－an＝a>0，故数列{an}是递增数列，且>0，又由an＋1＝an(an＋1)可得＝－
，即＝－，而＝＝1－，从而＋＋…＋＝n－，所以＝，又0<－<＝，所以＝n－1＝100，所以n＝101.跟踪演练4(1)数列{an
}满足an＋1＋an＝(－1)n·n，则数列{an}的前20项和为()A．－100B．100C．－110D．110答案A
解析由an＋1＋an＝(－1)n·n，得a2＋a1＝－1，a3＋a4＝－3，a5＋a6＝－5，…，a19＋a20＝－19，∴{a
n}的前20项和为a1＋a2＋…＋a19＋a20＝－1－3－…－19＝－×10＝－100.(2)(2019·漳州模拟)已知数列{a
n}和{bn}首项均为1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn＋1＋anbn
＋1＝0，则S2019等于()A．2019B.C．4037D.答案D解析由an－1≥an(n≥2)，an＋1≥a
n可得an＋1＝an，即数列{an}是常数列，又数列{an}的首项为1，所以an＝1，所以当SnSn＋1≠0时，2SnSn＋1＋a
nbn＋1＝0可化为2SnSn＋1＋bn＋1＝0，因为Sn为数列{bn}的前n项和，所以2SnSn＋1＋bn＋1＝2SnSn＋1＋
(Sn＋1－Sn)＝0，所以－＝2，因此数列是以2为公差的等差数列，又＝＝1，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，故Sn＝，即SnS
n＋1≠0.所以S2019＝.真题体验1．(2015·全国Ⅰ，文，7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和
，若S8＝4S4，则a10等于()A.B.C．10D．12答案B解析∵公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S
4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.2．(2015·全国Ⅱ
，文，9)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.D.答案C解析由{a
n}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，
解得q＝2，所以a2＝a1q＝.3．(2019·全国Ⅰ，文，14)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝
________.答案解析设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q
＋q2＝，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝.押题预测1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，
am＝2019，则m＝________.答案1010解析根据题意，设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a2＝3(a1＋
d)，又由a1＝1，S3＝a5，得3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，则am＝a1＋(m－1)d＝2m－1＝2019，解得m＝1
010.2．在等差数列{an}中，a8＝a10＋1，则数列{an}的前11项和S11＝________.答案22解析利用等差数列满足an＝a1＋(n－1)d，代入a8＝a10＋1，得到a1＋7d＝(a1＋9d)＋1，解得a1＋5d＝a6＝2，所以S11＝＝＝22.3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3－a1＝8，当a4取最小值时，数列{na}的前n项和Sn＝________.答案(8n－4)3n＋4解析设数列{an}的公比为q，由题意易知q>1.等比数列{an}中，a3－a1＝8，所以a1＝，a4＝a1q3＝，令f(q)＝，q>1，则f′(q)＝′＝，q>1，令f′(q)＝0，解得q＝(负值舍去)，当1时，f′(q)>0，所以当q＝时，a4＝f(q)＝取得最小值，设bn＝na，代入q＝化简可得bn＝16n×3n－1，所以Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－2＋bn－1＋bn，Sn＝16[1×30＋2×31＋3×32＋…＋(n－2)×3n－3＋(n－1)×3n－2＋n×3n－1]，3Sn＝16[1×31＋2×32＋3×33＋…＋(n－2)×3n－2＋(n－1)×3n－1＋n×3n]，两式相减得－2Sn＝16(1＋31＋32＋33＋…＋3n－2＋3n－1－n×3n)＝16，Sn＝8n×3n－4×3n＋4，故Sn＝(8n－4)×3n＋4. |
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