计算机原理之整数表示(原码/反码/补码)

　　大家好，我是痞子衡，是正经搞技术的痞子。今天痞子衡给大家讲的是计算机原理知识点-整数表示。

　　本系列痞子衡会给大家介绍一些关于计算机原理的有趣的知识点，今天是系列第一节课，痞子衡要讲的是计算机中最基础的知识，即整数数据表示法。
　　现实生活中的所有信息在计算机看来就是一堆数据，计算机的工作就是和数据打交道。简单来说，计算机最核心的功能就是两个：存储数据、处理数据。计算机首先得要能正确地存储用户数据，有了数据之后，计算机还要能够按照用户要求处理(运算)数据。今天痞子衡要讲的就是数据(整数)在计算机中是怎么存储（表示）的。

一、何谓进制

　　学过数字电路的朋友肯定知道数据的进制表示法，常见的有二进制、八进制、十进制、十六进制表示法。在现实生活中我们所用的数据表示法是十进制，即由0-9共10个数字表示所有数值。
　　任意进制转换成十进制的公式为X_n-1X_...X₁X₀=X_n-1*R^n-1+...X₁*R+X₀，其中R为当前被转换进制的权重值，二进制则R=2，八进制R=8，十进制R=10，十六进制R=16。X可取值当前被转换进制所有的单个数字（值）。
　　计算机就是大规模集成数字电路，数字电路只有两种电平状态（低/高），对应到数字表示就是0,1，所以实际上计算机只认二进制，所有保存在计算机中的数据都是由二进制来表示的。

二、整数编码

2.1 正负数表示（原码）

　　数据在计算机中都是用二进制来表示的。对于无符号整数（正整数），比如uint8_t型，8个bit均为数据位，用二进制表示其范围为8'b00000000 ~ 8'b11111111（0~255），这种所有bit均为数据位以表示无符号整数的编码方式即为原码。
　　但很多时候我们不仅要保存正整数，还要保存负整数，此时便涉及到有符号整数的表示方法了，此时编码规定最高bit表示符号（0为正，1为负），其余bit表示数据位，这种表示有符号整数的编码方式实际上也是原码。对于int8_t型，bit7为符号位，bit6-0为数据位，用二进制表示其范围为8'b10000000 ~ 8'b01111111（-128~127)，有朋友可能会对这里有疑问，似乎按照编码规定能表示的整数范围应该是-127 ~ 127，但实际并不是如此，具体痞子衡在下面会解释。

2.2 减法的实现（反码）

　　数字电路里我们都听说过加法器，但没有减法器的说法，说明计算机实际上仅支持加法运算，对于正整数做加法运算用原码没有任何疑义。那么对于无符号整数做减法运算（等同于有符号数的加法运算）怎么实现？我们尝试着用原码来代入运算，比如129-7（即129+(-7)）：

  8'b10000001(129原码) + 8'b10000111(-7原码)-------------- = 8'b????????(符号位如何参与运算？) =9'b100001000(不区别符号位，直接运算，最高bit由于溢出被自动丢弃) = 8'b00001000(结果为8)

　　我们似乎遇到了困难，有符号运算数的符号位如何参与运算？如果我们不区别对待符号位，直接把它当做数据位进行计算，得出的结果显然是不对的，所以原码是无法被用作减法/有符号数的计算的。为了解决这个问题，此时引入了第二种编码方式规定（反码），即正数的反码与原码相同，负数的反码等于原码除了符号位外，其余数据位全部取反。有了反码，此时我们用反码重新计算129-7：

   8'b10000001(129反码) + 8'b11111000(-7反码)-------------- =9'b101111001(最高bit由于溢出被自动丢弃) = 8'b01111001(结果为反码，由于最高bit为0，即表示正数，所以等同于原码，其值为122)

2.3 消除+/-0之争（补码）

　　反码看起来似乎解决了减法问题，不妨让我们再做一个减法运算，比如5-5，我们尝试再一次用反码解决问题：

  8'b00000101(5反码) + 8'b11111010(-5反码)-------------- = 8'b11111111(结果为反码) = 8'b10000000(转换成原码，根据有符号数原码编码规定解析为-0)

　　-0是等于0的，运算的结果是对的，但是不是总感觉哪里不对？是的，原码8'b00000000表示+0，我们已经有+0来表示0了，再用-0表示0显得多此一举，浪费了一个编码值。怎么解决这个问题？此时引入第三种编码方式规定（补码），正数的补码与原码相同，负数的补码等于反码加1.那现在我们尝试用补码来重新计算5-5：

   8'b00000101(5补码) + 8'b11111011(-5补码)-------------- =9'b100000000(最高bit由于溢出被自动丢弃) = 8'b00000000(结果为补码，由于最高bit为0，即表示正数，所以等同于反码，也等同于原码，其值为+0)

　　上述运算中使用补码消除了运算结果为-0的问题，但还是没有告诉我们8'b10000000的值到底是多少？显然不应该是-0，那么应该要怎么解析8'b10000000？有朋友说答案是-128，是的，前面我们已经在原码一节中给出了答案，那如何来理解这个答案？首先我们得要从标准原码定义的角度来说-128，按照定义-128的原码应该是9'b110000000，转换成补码还是9'b110000000，原码与补码一致，截断最高位后可得8'b10000000，讲到这里，我们似乎有点明白-128的由来了，但这样真的靠谱吗？代入运算会不会影响运算结果的正确性？我们来试试看-128+17：

  8'b10000000(-128补码) + 8'b00010001(17补码)-------------- = 8'b10010001(结果为补码) = 8'b10010000(转换为反码) = 8'b11101111(转换为原码，由于最高bit为1，即表示负数，其值为-111)

　　由于用8'b10000000来表示-128参与运算并不会导致结果错误，那么何不直接约定用8'b10000000来表示-128呢？好，就这么愉快的决定了！这就是-128=8'b10000000的由来。其实就是计算机里的一个异常的人为规定而已！

2.4 编码小结

　　无论uint8_t/int8_t型数据全部使用补码的方式在计算机中进行存储，其中int8_t型数据范围内-128是个异常规定，无法用补码编码规则直接解释，但计算机可以自动理解识别。
　　为了巩固知识，我们做个小练习：

// a,b,c,d,e,f分别等于多少？
uint8_t a = -1;
uint8_t b = -128;
uint8_t c = -129;
int8_t d = 128;
int8_t e = 129;
int8_t f = -129;
// 答案: a = 255, b = 128, c = 127, d = -128, e = -127, f = 127

　　至此，计算机原理知识点之整数表示痞子衡便介绍完毕了，掌声在哪里~~~