算法数学基础-多维随机变量及其分布

在了解了一维随机变量、分布、随机变量函数的分布之后，进入到多维随机变量及其分布。总的来讲多维随机变量的及其分布与一维答题是类似的，是将一维拓展到了多维，毕竟我们研究的对象都是高维对象，呈现出来的不确定性也是多维的，需要从多个维度进行刻画，所以从应用的角度来讲多维随机变量的应用更广泛。

首先定义，多维随机变量可以看作是定义在一个随机事件上的一个随机向量，这个随机向量看作是多个随机变量构成的。比如体检的时候我们都会量身高、体重，所以身高、体重就是可以看作描述一个人特征的二维随机变量。随机变量的特征，由随机变量的分布刻画。所以二维随机变量的特征由二维的随机变量的分布函数来刻画，当然这个分布函数也是密度函数的不定上限积分，如果把随机变量的值看作是平面坐标中的点，那概率的几何意义就是二维随机变量围成的面积，高维的可以类推。分布函数的性质也可以类比一维随机变量的性质。一下简述几个基本概念：

1、多维随机变量的分布：同样的离散型随机变量的分布用分布律来表示，连续性的随机变量的分布用密度函数的积分来表示。称之为多维随机变量的联合分布律。

2、边缘分布：边缘分布类似于函数的偏导数，就是假设其中一维不变考察另一维随机变量的分布。如离散型随机变量的分布律是一个二维表（x为列，y为行），固定X为某个值，则Y的分布律就为表中的对应的X列，反之相同。就是一维的简单扩展，超过2维的离散型分布律怎么表示呢，可以用数据立方体来表示，假如还有(X,Y,Z)，那固定其中一维的分布律就变成了表，还有没有四维空间的表示法呢？大家可以思考。

3、条件分布律：多维变量的条件分布律与一维的类似，形如P(X=xi|Y=yi)=P(X=xi,Y=yi)/P(Y=yi)。如果条件来自不同维度，求条件分布律如上式。需要知道联合分布律以及边缘分布律，同样转换到概率密度函数去以后关系依然存在。因为积分是线性操作。

4、相互独立的随机I变量：如果多维随机变量的联合分布等于边缘分布之积，则称为随机变量相互独立。（同样适用于概率密度函数）从定义出发我们知道，如果两个随机变量相互独立，那么讨论他们共同作用的时候，将他们分别作用的结果简单相乘就好了。这个和我们现实中的直觉是一直的。

5、多维随机变量的函数分布：这里要分成几个子主题：

5.1：当Z=X+Y时，就是系统的效果是两个随机变量线性和的情况下，Z的概率密度函数是X,Y的卷积。这个是不是很像信号与系统中描述，线性系统的响应是输入与系统冲击响应的卷积啊！世界是如此一致和一致呀。记住一个重要的结论，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布！！如果线性系统的影响因素是正态分布，我们看到最终的结果也将呈正态分布。那大家思考一下反过来是否成立呢？就是如果我得到的结果呈现正态分布，而且知道影响因素也是正态分布，那是不是可以得出系统是线性系统呢？哈哈哈，有点超纲了，简单做了一下拓展有兴趣的同学可以思考。

5.2 Z=Y/X的分布以及Z=XY的分布形式，也就是如果系统是非线性的，那么分布的结果是怎样的呢。（注意有个前提，假设这两个函数都是连续的，因为只有连续函数才能用概率密度来推导）写一个乘的吧，除的类似。f(z)=|x|f(x,xz)dx，前面有个积分符号，这里打不出来大家意念加上去就好了。如果X,Y是相互独立的则可以化为f(z)=|x|f(x)f(x)f(xz)dx，就是说上式中的f(x,xz)变成了f(x)f(xz)，和独立性假设一致。数据证明有兴趣的同学可以去看看，真的佩服数学家很厉害！

5.3 M=max{X,Y}或N=min{X,Y}这种形式，假设X,Y相互独立。因为M,N均为不连续，所以无法直接用概率密度函数来计算，所以直接用定义推出Fmax(Z)=Fx(Z)Fy(Z)，Fmin=1-[1-Fx(Z)][1-Fy(Z)]。这个可以举个应用的例子来理解，一个系统由两个元件组成，这两个元件寿命相互独立，那么系统的整体寿命将取决于元件的寿命，及其连接的结构。如果两个元件是串联的，那寿命模型Z=min(X,Y)，如果两个系统是并联的那寿命模型Z=max(X,Y)，如果采用了主备模式那系统的寿命Z=X+Y。是不是非常有用呢？相信有系统可靠性设计经验的朋友会有感觉的。

这个世界从机械论的角度看是具有确定性的，牛顿的世界观带我们进入了一个崭新的世界，但确定性世界中不确定现象闪烁着更为智慧的光芒。愿大家都能学好探索世界不确定的数据工具--概率论！（心血来潮有感）