典型例题分析1: 已知函数f(x)=2cos2x+cos(π/2﹣2x), 则函数f(x)的最小正周期是,值域是.
解:∵f(x)=2cos2x+cos(π/2﹣2x) =1+cos2x+sin2x =√2sin(2x+π/4)+1, ∴函数f(x)的最小正周期T=2π/2=π, ∵sin(2x+π/4)∈[﹣1,1], ∴f(x)=√2sin(2x+π/4)+1∈[1﹣√2,1+√2]. 故答案为:π,[1﹣√2,1+√2]. 考点分析: 三角函数的周期性及其求法;三角函数中的恒等变换应用. 题干分析: 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f(x)=√2sin(2x+π/4)+1,利用三角函数周期公式可求最小正周期,利用正弦函数的图象和性质可得sin(2x+π/4)∈[﹣1,1],从而可求f(x)的值域. 若将函数f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣1/2的图象向右平移φ个单位,所得函数是奇函数,则φ的最小正值是( )解:将函数f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣1/2=√2/2·sin(2x+π/4) 的图象向右平移φ个单位,则π/4﹣2φ=kπ,k∈Z,则φ的最小正值为π/8,利用三角恒等变换化简f(x)的解析式,再利用正弦函数的奇偶性,求得φ的最小正值.已知函数f(x)=cosωx﹣sinωx(ω>0)在(﹣π/2,π/2)上单调递减,=√2cos(ωx+π/4)(ω>0)在(﹣π/2,π/2)上单调递减,求得﹣π/4ω+2kπ/ω≤x≤3π/4ω+2kπ/ω (k∈Z).利用两角和的余弦公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的单调性求得f(x)的减区间,结合条件可得,﹣π/4ω≤﹣π/2,且3π/4ω≥π/2,由此求得ω的范围,从而得出结论.
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