一、选择题（共60小题）
1．（2015·遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=
，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
2．（2015·遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
3．（2015·自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ ）
| A． | 2 ﹣2 | B． | 6 | C． | 2 ﹣2 | D． | 4 |
4．（2015·株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a·c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（ ）
| A． | 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 |
| B． | 如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 |
| C． | 如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根 |
| D． | 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 |
5．（2015·镇江）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，=k．已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k·t的值等于（ ）
6．（2015·枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（ ）
7．（2015·岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）
8．（2015·营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
9．（2015·盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
10．（2015·烟台）如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
11．（2015·雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
其中正确结论的个数是（ ）
12．（2015·宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
13．（2015·孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：
①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA·OB=﹣．
其中正确结论的个数是（ ）
14．（2015·西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）
15．（2015·武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
16．（2015·无锡）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（ ）
17．（2015·潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
18．（2015·天水）如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合），CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE=y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
19．（2015·泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
20．（2015·遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
21．（2015·绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB·AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（ ）
22．（2015·十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
23．（2015·日照）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
24．（2015·泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
25．（2015·庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
| A． | （4n﹣1，） | B． | （2n﹣1，） | C． | （4n+1，） | D． | （2n+1，） |
26．（2015·钦州）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）
| A． | BD：CD | B． | AD：CD | C． | BC：AD | D． | BC：AC |
27．（2015·齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）
28．（2015·盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（ ）
29．（2015·宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（ ）
| A． | （22014，22014） | B． | （22015，22015） | C． | （22014，22015） | D． | （22015，22014） |
30．（2015·内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
| A． | 1＜k＜9 | B． | 2≤k≤34 | C． | 1≤k≤16 | D． | 4≤k＜16 |
31．（2015·南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（ ）
32．（2015·南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）
33．（2015·南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（ ）
34．（2015·南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
| A． | 只能是x=﹣1 |
| B． | 可能是y轴 |
| C． | 可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧 |
| D． | 可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 |
35．（2015·牡丹江）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
（1）∠DBM=∠CDE； （2）S△BDE＜S四边形BMFE；
（3）CD·EN=BN·BD； （4）AC=2DF．
其中正确结论的个数是（ ）
36．（2015·梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
37．（2015·辽阳）如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=上运动，则k的值为（ ）
38．（2015·凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
39．（2015·连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）
| A． | 第24天的销售量为200件 |
| B． | 第10天销售一件产品的利润是15元 |
| C． | 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 |
| D． | 第30天的日销售利润是750元 |
40．（2015·莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
41．（2015·酒泉）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
42．（2015·荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
43．（2015·荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
44．（2015·济南）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
| A． | ﹣2＜m＜ | B． | ﹣3＜m＜﹣ | C． | ﹣3＜m＜﹣2 | D． | ﹣3＜m＜﹣ |
45．（2015·黄石）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（ ）
46．（2015·黑龙江）如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．
其中正确的个数是（ ）
47．（2015·菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
| A． | （﹣1，） | B． | （﹣2，） | C． | （﹣，1） | D． | （﹣，2） |
48．（2015·河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）
| A． | （2014，0） | B． | （2015，﹣1） | C． | （2015，1） | D． | （2016，0） |
49．（2015·河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
50．（2015·河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
51．（2015·河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
| A． | 甲、乙都可以 | B． | 甲、乙都不可以 |
| C． | 甲不可以、乙可以 | D． | 甲可以、乙不可以 |
52．（2015·桂林）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）
53．（2015·广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）
54．（2015·抚顺）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（ ）
| A． | 3 | B． | 1.5 | C． | 2 | D． |
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55．（2015·鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
| A． | （）2014 | B． | （）2015 | C． | （）2015 | D． | （）2014 |
56．（2015·滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（ ）
57．（2015·本溪）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（ ）
58．（2015·巴彦淖尔）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
| A． | AE=12cm |
| B． | sin∠EBC= |
| C． | 当0＜t≤8时，y=t2 |
| D． | 当t=9s时，△PBQ是等腰三角形 |
59．（2015·眉山）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
| A． |
| B． |
| C． | 3 | D． | 4 |
60．（2015·徐州）若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（ ）
2015年全国中考数学压轴题60例（选择题卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共60小题）
1．（2015·遵义）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB=，则四边形AB1ED的内切圆半径为（ ）
考点： | 三角形的内切圆与内心；正方形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，则O即为该圆的圆心，过O作OF⊥AB1，AB=，再根据直角三角形的性质便可求出OF的长，即该四边形内切圆的圆心． |
解答： | 解：作∠DAF与∠AB1G的角平分线交于点O，过O作OF⊥AB1，】 则∠OAF=30°，∠AB1O=45°， 故B1F=OF=OA， 设B1F=x，则AF=﹣x， 故（﹣x）2+x2=（2x）2， 解得x=或x=（舍去）， ∴四边形AB1ED的内切圆半径为：． 故选：B．
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点评： | 本题考查了旋转的性质三角形的内切圆，正方形的性质，要熟练掌握正方形的性质及直角三角形的性质，是解答此题的关键． |
2．（2015·遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
考点： | 轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有 |
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专题： | 压轴题． |
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分析： | 据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案． |
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解答： | 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°， ∴∠DAB=130°， ∴∠HAA′=50°， ∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°， ∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF=50°， ∴∠EAF=130°﹣50°=80°， 故选：D． |
点评： | 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键． |
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3．（2015·自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ ）
| A． | 2﹣2 | B． | 6 | C． | 2﹣2 | D． | 4 |
考点： | 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=2，DE﹣B′E即为所求． |
解答： | 解：如图，当∠BFE=∠DEF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小， 根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥FD， ∴EB′=EB， ∵E是AB边的中点，AB=4， ∴AE=EB′=2， ∵AB=6， ∴DE==2， ∴DB′=2﹣2． 故选：A．
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点评： | 本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键． |
4．（2015·株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a·c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（ ）
| A． | 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 |
| B． | 如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 |
| C． | 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 |
| D． | 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 |
考点： | 根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D． |
解答： | 解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0， ＞0，所以a与c符号相同， ＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意； C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意； D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意； 故选：D． |
点评： | 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义． |
5．（2015·镇江）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点A，B的对应点，
=k．已知关于x，y的二元一次方程
（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k·t的值等于（ ）
考点： | 位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 首先求出点A′的坐标为（k，kt），再根据关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，可得mn=3，且n≠1；然后根据以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，可得反比例函数n= 的图象只经过点A′或C′；最后分两种情况讨论：（1）若反比例函数n=的图象经过点A′时；（2）若反比例函数n=的图象经过点C′时；求出k·t的值等于多少即可． |
解答： | 解：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形， =k，顶点A的坐标为（1，t）， ∴点A′的坐标为（k，kt）， ∵关于x，y的二元一次方程 （m，n是实数）无解， ∴mn=3，且n≠1， 即n=（m≠3）， ∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上， ∴反比例函数n=的图象只经过点A′或C′， 由 ，可得 mnx﹣3x+4=3n+1， （1）若反比例函数n= 的图象经过点A′， ∵mn=3， 3x﹣3x+4=3kt+1， 解得kt=1． （2）若反比例函数n=的图象经过点C′， ∵mn=3， 3x﹣3x+4=﹣3kt+1， 解得kt=﹣1， ∵k＞0，t＞0， ∴kt=﹣1不符合题意， ∴kt=1． 故选：B． |
点评： | （1）此题主要考查了位似变换问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． （2）此题还考查了二元一次方程组的求解方法，以及坐标与图形的性质，要熟练掌握． |
6．（2015·枣庄）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为x=
，且经过点（2，0），有下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（0，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1=y2．上述说法正确的是（ ）
考点： | 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | ①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号； ②根据对称轴求出b=﹣a； ③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系； ④求出点（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小． |
解答： | 解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x=， ∴﹣ ， ∴b=﹣a＞0， ∴abc＜0． 故①正确； ②∵由①中知b=﹣a， ∴a+b=0， 故②正确； ③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c， ∵抛物线经过点（2，0）， ∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0． 故③错误； ④∵（0，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（1，y1）， ∴y1=y2． 故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：A |
点评： | 本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下． |
7．（2015·岳阳）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③
=
；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）
考点： | 切线的判定；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定 与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断． |
解答： | 解：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， 而AB=CB， ∴AD=DC，所以①正确； ∵AB=CB， ∴∠1=∠2， 而CD=ED， ∴∠3=∠4， ∵CF∥AB， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2=∠3=∠4， ∴△CBA∽△CDE，所以②正确； ∵△ABC不能确定为直角三角形， ∴∠1不能确定等于45°， ∴与不能确定相等，所以③错误； ∵DA=DC=DE， ∴点E在以AC为直径的圆上， ∴∠AEC=90°， ∴CE⊥AE， 而CF∥AB， ∴AB⊥AE， ∴AE为⊙O的切线，所以④正确． 故选：D． 
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点评： | 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定． |
8．（2015·营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
考点： | 轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB= ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果． |
解答： | 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周长的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故选：B． 
|
点评： | 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． |
9．（2015·盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象． |
解答： | 解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小； 当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变； 当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小； 故选：B． |
点评： | 本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键． |
10．（2015·烟台）如图，Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，以2
为边长的正方形DEFG的一边CD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿A﹣B的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 首先根据Rt△ABC中∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，分别求出AC、BC，以及AB边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：（1）当0≤t≤2 时；（2）当2 时；（3）当6＜t≤8时；分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可． |
解答： | 解：如图1，CH是AB边上的高，与AB相交于点H， ∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8， ∴AC=AB×cos30°=8× =4，BC=AB×sin30°=8× =4， ∴CH=AC× ，AH= ， （1）当0≤t≤2 时， S= = t2； 
（2）当2 时， S= ﹣ =t2 [t2﹣4 t+12] =2t﹣2 （3）当6＜t≤8时， S= [（t﹣2）·tan30° ]×[6﹣（t﹣2）] ×[（8﹣t）·tan60° ]×（t﹣6） = [ ]×[﹣t+2 +6] ×[﹣t ]×（t﹣6） =﹣ t2+2t+4 ﹣ t2 ﹣30 =﹣ t2 ﹣26 综上，可得 S= ∴正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是A图象． 故选：A． |
点评： | （1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图． （2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角形、梯形的面积的求法，要熟练掌握． |
11．（2015·雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为
上一点，且
=
，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD=BD；②∠MAN=90°；③
=
；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=
MF．
其中正确结论的个数是（ ）
考点： | 圆周角定理；垂径定理．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据AB⊥MN，垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确， == ，得出④正确，结合②④得出⑤正确即可． |
解答： | 解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN， ∴AD=BD， =，∠MAN=90°（①②③正确） ∵ =， ∴== ， ∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确） ∵∠MAE=∠AME， ∴AE=ME，∠EAF=∠AFM， ∴AE=EF， ∴AE= MF（⑤正确）． 正确的结论共5个． 故选：D． |
点评： | 此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识． |
12．（2015·宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y=
的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
考点： | 反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为﹣3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x， ），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2=36，此时P点有4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个． |
解答： | 解：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y=得y=﹣ ，所以此时P点有1个； ②当∠APB=90°，设P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x﹣3）2+（ ）2，AB2=（3+3）2=36， 因为PA2+PB2=AB2， 所以（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2=36， 整理得x4﹣9x2+4=0，所以x2= ，或x2= ， 所以此时P点有4个， ③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入y=得y= ，所以此时P点有1个； 综上所述，满足条件的P点有6个． 故选：D． |
点评： | 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． |
13．（2015·孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：
①abc＜0；②
＞0；③ac﹣b+1=0；④OA·OB=﹣
．
其中正确结论的个数是（ ）
考点： | 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 |
|
专题： | 压轴题；数形结合． |
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分析： | 由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1·x2=，于是OA·OB=﹣，则可对④进行判断． |
|
解答： | 解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0， 而a＜0， ∴ ＜0，所以②错误； ∵C（0，c），OA=OC， ∴A（﹣c，0）， 把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0， ∴ac﹣b+1=0，所以③正确； 设A（x1，0），B（x2，0）， ∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点， ∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根， ∴x1·x2=， ∴OA·OB=﹣ ，所以④正确． 故选：B． |
|
点评： | 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． |
14．（2015·西宁）如图，在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面，剩余的矩形作为立方体的侧面，刚好能组成立方体．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）
考点： | 函数的图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 立方体的上下底面为正方形，立方体的高为x，则得出y﹣ x=4x，再得出图象即可． |
解答： | 解：正方形的边长为x，y﹣ x=2x， ∴y与x的函数关系式为y= x， 故选：B． |
点评： | 本题考查了一次函数的图象和综合运用，解题的关键是从y﹣x等于该立方体的上底面周长，从而得到关系式． |
15．（2015·武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
考点： | 旋转的性质；四点共圆；线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 取AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图，易证△DAG∽△DCF，则有∠DAG=∠DCF，从而可得A、D、C、M四点共圆，根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，只需求出BO、OM的值，就可解决问题． |
解答： | 解：AC的中点O，连接AD、DG、BO、OM，如图． ∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点， ∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF， ∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， = ， ∴△DAG∽△DCF， ∴∠DAG=∠DCF． ∴A、D、C、M四点共圆． 根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM， 当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小， 此时，BO= = = ，OM= AC=1， 则BM=BO﹣OM=﹣1． 故选：D． 
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点评： | 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定、勾股定理、两点之间线段最短等知识，求出动点M的运动轨迹是解决本题的关键． |
16．（2015·无锡）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（ ）
考点： | 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 首先根据折叠可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE ，从而求得B′D=1，DF= ，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的长． |
解答： | 解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB， ∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECF=45°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF=CE，∠EFC=45°， ∴∠BFC=∠B′FC=135°， ∴∠B′FD=90°， ∵S△ABC= AC·BC=AB·CE， ∴AC·BC=AB·CE， ∵根据勾股定理求得AB=5， ∴CE= ， ∴EF=，ED=AE= = ， ∴DF=EF﹣ED= ， ∴B′F= = ． 故选：B． |
点评： | 此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的相等相等的角是本题的关键． |
17．（2015·潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
考点： | 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可． ②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4a（c+2）=0，b2﹣4ac=8a＞0，据此解答即可． ③首先根据对称轴x=﹣ =﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=8a，确定出a的取值范围即可． ④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可． |
解答： | 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴左边， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c+2＞2， ∴c＞0， ∴abc＞0， ∴结论①不正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点， ∴△=0， 即b2﹣4a（c+2）=0， ∴b2﹣4ac=8a＞0， ∴结论②不正确； ∵对称轴x=﹣=﹣1， ∴b=2a， ∵b2﹣4ac=8a， ∴4a2﹣4ac=8a， ∴a=c+2， ∵c＞0， ∴a＞2， ∴结论③正确； ∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2， ∴x=﹣2时，y＞2， ∴4a﹣2b+c+2＞2， ∴4a﹣2b+c＞0． ∴结论④正确． 综上，可得 正确结论的个数是2个：③④． 故选：B． |
点评： | 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． |
18．（2015·天水）如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（C点与A点不重合），CF⊥CD交AB于点F，DE⊥CD交AB于点E，G为半圆弧上的中点．当点C在
上运动时，设的长为x，CF+DE=y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据弦CD为定长可以知道无论点C怎么运动弦CD的弦心距为定值，据此可以得到函数的图象． |
解答： | 解：作OH⊥CD于点H， ∴H为CD的中点， ∵CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E， ∴OH为直角梯形的中位线， ∵弦CD为定长， ∴CF+DE=y为定值， 故选：B． 
|
点评： | 本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是化动为静． |
19．（2015·泰州）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）
考点： | 全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏． |
解答： | 解：∵AB=AC，D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， 在△ABD和△ACD中，  ，
∴△ABD≌△ACD； ∵EF垂直平分AC， ∴OA=OC，AE=CE， 在△AOE和△COE中，  ，
∴△AOE≌△COE； 在△BOD和△COD中，  ，
∴△BOD≌△COD； 在△AOC和△AOB中，  ，
∴△AOC≌△AOB； 故选：D． |
点评： | 本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证． |
20．（2015·遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）
考点： | 二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有 |
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专题： | 压轴题． |
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分析： | 由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x=1的右侧得到﹣ ＞1，于是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4ac＞0；由x=1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x=﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0． |
解答： | 解：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x=﹣＞1， ∴2a+b＞0，故①正确； ②∵a＜0，﹣＞0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②错误； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴△=b2﹣4ac＞0，故③正确； ④∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，故④错误； ⑤∵x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确． 故选：B． |
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点评： | 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当△=b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点． |
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21．（2015·绥化）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=
BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB·AC；③OB=AB；④OE=
BC，成立的个数有（ ）
考点： | 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB= BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB·AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE= BC，故④正确． |
解答： | 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=BE， ∵AB= BC， ∴AE=BC， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD=AB·AC，故②正确， ∵AB=BC，OB=BD， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故③错误； ∵CE=BE，CO=OA， ∴OE=AB， ∴OE= BC，故④正确． 故选：C． |
点评： | 本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． |
22．（2015·十堰）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3
，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
考点： | 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．菁优网版权所有 |
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专题： | 压轴题． |
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分析： | 首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF． |
解答： | 解：如图，延长FD到G，使DG=BE； 连接CG、EF； ∵四边形ABCD为正方形， 在△BCE与△DCG中，  ，
∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG=CE，∠DCG=∠BCE， ∴∠GCF=45°， 在△GCF与△ECF中，  ，
∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴GF=EF， ∵CE=3 ，CB=6， ∴BE= = =3， ∴AE=3， 设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x， ∴EF= = ， ∴（9﹣x）2=9+x2， ∴x=4， 即AF=4， ∴GF=5， ∴DF=2， ∴CF= = =2 ， 故选：A． 
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点评： | 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键． |
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23．（2015·日照）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
考点： | 二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有 |
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专题： | 压轴题；数形结合． |
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分析： | 根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断． |
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解答： | 解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1， ∴2a+b=0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b=﹣2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标A（1，3）， ∴x=1时，二次函数有最大值， ∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误； ∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0） ∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确． 故选：C． |
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点评： | 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． |
24．（2015·泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
考点： | 二次函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题． |
解答： | 解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣ ＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴y=﹣ 位于y轴的右侧，故符合题意， D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． |
点评： | 此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答． |
25．（2015·庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ）
| A． | （4n﹣1， ） | B． | （2n﹣1，） | C． | （4n+1， ） | D． | （2n+1，） |
考点： | 坐标与图形变化-旋转．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题；规律型． |
分析： | 首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可． |
解答： | 解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣， ∴点A2的坐标是（3，﹣ ）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣ ， ∴点A4的坐标是（7，﹣）， …， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）． 故选：C． |
点评： | 此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少． |
26．（2015·钦州）如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）
| A． | BD：CD | B． | AD：CD | C． | BC：AD | D． | BC：AC |
考点： | 角平分线的性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有 = ，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证． |
解答： | 解：如图 
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E， ∵BE∥AC， ∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， ∴ = ， 又∵AD是角平分线， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴ =， ∴AB：AC=BD：CD． 故选：A． |
点评： | 此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线． |
27．（2015·齐齐哈尔）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=
S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（ ）
考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | ①首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN= ；然后判断出EM=，即可判断出EM=DN； ②首先根据DN∥AB，可得△CDN∽ABC；然后根据DN= ，可得S△CDN= S△ABC，所以S△CDN= S四边形ABDN，据此判断即可． ③首先连接MD、FN，判断出DM=FN，∠EMD=∠DNF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EMD≌△DNF，即可判断出DE=DF． ④首先判断出 ，DM= FA，∠EMD=∠EAF，根据相似计三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF． |
解答： | 解：∵D是BC中点，N是AC中点， ∴DN是△ABC的中位线， ∴DN∥AB，且DN= ； ∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB交AB于点M， ∴M是AB的中点， ∴EM=， 又∵DN=， ∴EM=DN， ∴结论①正确； ∵DN∥AB， ∴△CDN∽ABC， ∵DN=， ∴S△CDN= S△ABC， ∴S△CDN= S四边形ABDN， ∴结论②正确； 如图1，连接MD、FN， ， ∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线， ∴DM∥AC，且DM= ； ∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=， 又∵DM= ， ∴DM=FN， ∵DM∥AC，DN∥AB， ∴四边形AMDN是平行四边形， ∴∠AMD=∠AND， 又∵∠EMA=∠FNA=90°， ∴∠EMD=∠DNF， 在△EMD和△DNF中，  ，
∴△EMD≌△DNF， ∴DE=DF， ∴结论③正确； 如图2，连接MD，EF，NF， ， ∵三角形ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB， ∴M是AB的中点，EM⊥AB， ∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°， ∴ ， ∵D是BC中点，M是AB中点， ∴DM是△ABC的中位线， ∴DM∥AC，且DM= ； ∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点， ∴FN=，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°， 又∵DM=， ∴DM=FN= FA， ∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD， ∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC =360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD） =90°+∠AMD ∴∠EMD=∠EAF， 在△EMD和△∠EAF中， 
∴△EMD∽△∠EAF， ∴∠MED=∠AEF， ∵∠MED+∠AED=45°， ∴∠AED+∠AEF=45°， 即∠DEF=45°， 又∵DE=DF， ∴∠DFE=45°， ∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴DE⊥DF， ∴结论④正确． ∴正确的结论有4个：①②③④． 故选：D． |
点评： | （1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握． （2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径． （3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． |
28．（2015·盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据题意，分3种情况：（1）当点N在AD上运动时；（2）当点N在CD上运动时；（3）当点N在BC上运动时；求出△AMN的面积s关于t的解析式，进而判断出能大致反映s与t的函数关系的图象是哪个即可． |
解答： | 解：（1）如图1， 当点N在AD上运动时， s= AM·AN=×t×3t= t2． 
（2）如图2， 当点N在CD上运动时， s= AM·AD=t×1=t． 
（3）如图3， 
当点N在BC上运动时， s= AM·BN=×t×（3﹣3t）=﹣ t2+t 综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象． 故选：D． |
点评： | 此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． |
29．（2015·宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015的坐标是（ ）
| A． | （22014，22014） | B． | （22015，22015） | C． | （22014，22015） | D． | （22015，22014） |
考点： | 一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题；规律型． |
分析： | 根据OA1=1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B2015的坐标． |
解答： | 解：∵OA1=1， ∴点A1的坐标为（1，0）， ∵△OA1B1是等腰直角三角形， ∴A1B1=1， ∴B1（1，1）， ∵△B1A1A2是等腰直角三角形， ∴A1A2=1，B1A2= ， ∵△B2B1A2为等腰直角三角形， ∴A2A3=2， ∴B2（2，2）， 同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1）， ∴点B2015的坐标是（22014，22014）． 故选：A． |
点评： | 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质． |
30．（2015·内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线y=
与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）
| A． | 1＜k＜9 | B． | 2≤k≤34 | C． | 1≤k≤16 | D． | 4≤k＜16 |
考点： | 反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 先根据题意求出A点的坐标，再根据AB=BC=3，AB、BC分别平行于x轴、y轴求出B、C两点的坐标，再根据双曲线y= （k≠0）分别经过A、C两点时k的取值范围即可． |
解答： | 解：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则A的坐标是（1，1）， ∵AB=BC=3， ∴C点的坐标是（4，4）， ∴当双曲线y=经过点（1，1）时，k=1； 当双曲线y=经过点（4，4）时，k=16， 因而1≤k≤16． 故选：C． |
点评： | 本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是理解题意进而求出k的值． |
31．（2015·南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（ ）
考点： | 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出 = ，可解得DE的长，由AE=AD﹣DE求解即可得出答案． |
解答： | 解：如图1，连接BD、CD，  ，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD= ， ∵弦AD平分∠BAC， ∴CD=BD= ， ∴∠CBD=∠DAB， 在△ABD和△BED中， 
∴△ABD∽△BED， ∴ = ，即 = ， 解得DE= ， ∴AE=AD﹣DE=5﹣=2.8． 故选：B |
点评： | 此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED． |
32．（2015·南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）
考点： | 轴对称-最短路线问题；圆周角定理．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论． |
解答： | 解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON． ∵N关于AB的对称点N′， ∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点， ∵N是弧MB的中点， ∴∠A=∠NOB=∠MON=20°， ∴∠MON′=60°， ∴△MON′为等边三角形， ∴MN′=OM=4， ∴△PMN周长的最小值为4+1=5． 故选：B． 
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点评： | 本题考查的是轴对称﹣最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． |
33．（2015·南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（ ）
考点： | 根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有 |
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专题： | 压轴题． |
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分析： | ①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解． |
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解答： | 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1·x2=2n＞0，y1·y2=2m＞0， y1+y2=﹣2n＜0， x1+x2=﹣2m＜0， 这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有： △=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0， ∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0， ∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0， m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2， （m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确； ③由根与系数关系可得2m﹣2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）﹣1， 由y1、y2均为负整数，故（y1+1）·（y2+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1， 同理可得：2n﹣2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n≤1，故③正确． 故选：D． |
点评： | 本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注意总结． |
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34．（2015·南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
| A． | 只能是x=﹣1 |
| B． | 可能是y轴 |
| C． | 可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧 |
| D． | 可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 |
考点： | 二次函数的性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜ ＜0，即可判定抛物线对称轴的位置． |
解答： | 解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点， ∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2， ∴﹣2＜ ＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧． 故选：D． |
点评： | 本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键． |
35．（2015·牡丹江）如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
（1）∠DBM=∠CDE； （2）S△BDE＜S四边形BMFE；
（3）CD·EN=BN·BD； （4）AC=2DF．
其中正确结论的个数是（ ）
考点： | 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | （1）设∠EDC=x，则∠DEF=90°﹣x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°﹣（90°﹣x）﹣45°=45°+x，∠DBM=∠DBE﹣∠MBE=45°+x﹣45°=x，从而可得到∠DBM=∠CDE； （2）可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积=四边形NMFE的面积，所以△DNB的面积+△BNE的面积=四边形NMFE的面积++△BNE的面积； （3）可证明△DBC∽△NEB； （4）由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM= AC． |
解答： | 解：（1）设∠EDC=x，则∠DEF=90°﹣x ∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°， ∵BD=DE， ∴∠DBM=∠DBE﹣∠MBE=45°+x﹣45°=x． ∴∠DBM=∠CDE，故（1）正确； （2）在Rt△BDM和Rt△DEF中，  ，
∴Rt△BDM≌Rt△DEF． ∴S△BDM=S△DEF． ∴S△BDM﹣S△DMN=S△DEF﹣S△DMN，即S△DBN=S四边形MNEF． ∴S△DBN+S△BNE=S四边形MNEF+S△BNE， ∴S△BDE=S四边形BMFE，故（2）错误； （3）∵∠BNE=∠DBM+∠BDN，∠BDM=∠BDE+∠EDF，∠EDF=∠DBM， ∴∠BNE=∠BDM． 又∵∠C=∠NBE=45° ∴△DBC∽△NEB． ∴ ， ∴CD·EN=BN·BD；故（3）正确； （4）∵Rt△BDM≌Rt△DEF， ∴BM=DF， ∵∠B=90°，M是AC的中点， ∴BM= ． ∴DF=，故（4）正确． 故选：C． |
点评： | 本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，利用面积法证明S△BDE=S四边形BMFE是解答本题的关键． |
36．（2015·梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
考点： | 二次函数的性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案． |
解答： | 解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确； ②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1或y2＜y1，错误； ③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2， 故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确； ④∵a=﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当0＜x＜2时，y＞0，正确． 故选：C． |
点评： | 此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键． |
37．（2015·辽阳）如图，点A是双曲线y=﹣
在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=
上运动，则k的值为（ ）
考点： | 反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出 = = ，即可得出k=EC×EO=2． |
解答： | 解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°， ∴CO⊥AB，∠CAB=30°， 则∠AOD+∠COE=90°， ∵∠DAO+∠AOD=90°， ∴∠DAO=∠COE， 又∵∠ADO=∠CEO=90°， ∴△AOD∽△OCE， ∴== =tan60°= ，则 =3， ∵点A是双曲线y=﹣ 在第二象限分支上的一个动点， ∴ |xy|= AD·DO=×6=3， ∴k=EC×EO=1， 则EC×EO=2． 故选：B． 
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点评： | 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE是解题关键． |
38．（2015·凉山州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
考点： | 二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | ①函数图象的对称轴为：x=﹣ = =1，所以b=﹣2a，即2a+b=0； ②由抛物线的开口方向可以确定a的符号，再利用图象与x轴的交点坐标以及数形结合思想得出当﹣1≤x≤3时，y≤0； ③由图象可以得到抛物线对称轴为x=1，由此即可确定抛物线的增减性； ④由图象过点（3，0），即可得出9a+3b+c=0． |
解答： | 解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣= =1， ∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正确； ②∵抛物线开口方向朝上， ∴a＞0， 又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0）， ∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误； ③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上， ∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2； 故③错误； ④∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（3，0）， ∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确． 故选：B． |
点评： | 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，难度适中． |
39．（2015·连云港）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）
| A． | 第24天的销售量为200件 |
| B． | 第10天销售一件产品的利润是15元 |
| C． | 第12天与第30天这两天的日销售利润相等 |
| D． | 第30天的日销售利润是750元 |
考点： | 一次函数的应用．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=﹣x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y= ，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． |
解答： | 解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确； B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b， 把（0，25），（20，5）代入得： ， 解得： ， ∴z=﹣x+25， 当x=10时，y=﹣10+25=15， 故正确； C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1， 把（0，100），（24，200）代入得： ， 解得： ， ∴y= ， 当t=12时，y=150，z=﹣12+25=13， ∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元）， 750≠1950，故C错误； D、第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确． 故选：C |
点评： | 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． |
40．（2015·莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据题意，分三种情况：（1）当0≤t≤2a时；（2）当2a＜t≤3a时；（3）当3a＜t≤5a时；然后根据直角三角形中三边的关系，判断出y关于x的函数解析式，进而判断出y与x的函数关系的图象是哪个即可． |
解答： | 解：（1）当0≤t≤2a时， ∵PD2=AD2+AP2，AP=x， ∴y=x2+a2． （2）当2a＜t≤3a时， CP=2a+a﹣x=3a﹣x， ∵PD2=CD2+CP2， ∴y=（3a﹣x）2+（2a）2=（x﹣3a）2+4a2． （3）当3a＜t≤5a时， PD=2a+a+2a﹣x=5a﹣x， ∵PD2=y， ∴y=（5a﹣x）2=（x﹣5a）2， 综上，可得y= ∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象． 故选：D． |
点评： | （1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图． （2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． |
41．（2015·酒泉）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 证明△BPE∽△CDP，根据相似三角形的对应边的比相等求得y与x的函数关系式，根据函数的性质即可作出判断． |
解答： | 解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE， 又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠BPE=90°， 又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°， ∴∠BEP=∠CPD， 又∵∠B=∠C， ∴△BPE∽△CDP， ∴ ，即 ，则y=﹣ x2+ x，y是x的二次函数，且开口向下． 故选：C． |
点评： | 本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式，就是把自变量当作已知数值，然后求函数变量y的值，即求线段长的问题，正确证明△BPE∽△CDP是关键． |
42．（2015·荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解． |
解答： | 解：由题意可得BQ=x． ①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x， 则△BPQ的面积= BP·BQ， 解y=·3x·x= x2；故A选项错误； ②1＜x≤2时，P点在CD边上， 则△BPQ的面积=BQ·BC， 解y= ·x·3= x；故B选项错误； ③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AP·BQ， 解y=·（9﹣3x）·x= x﹣ x2；故D选项错误． 故选：C． |
点评： | 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键． |
43．（2015·荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（ ）
考点： | 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC； 由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°； 由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形； 证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC． |
解答： | 解：∵△ABD、△BCE为等边三角形， ∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC， ∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE=∠BDC， ∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°， ∴②正确； 在△ABP和△DBQ中， ， ∴△ABP≌△DBQ（ASA）， ∴BP=BQ， ∴△BPQ为等边三角形， ∴③正确； ∵∠DMA=60°， ∴∠AMC=120°， ∴∠AMC+∠PBQ=180°， ∴P、B、Q、M四点共圆， ∵BP=BQ， ∴ ， ∴∠BMP=∠BMQ， 即MB平分∠AMC； ∴④正确； 综上所述：正确的结论有4个； 故选：D． |
点评： | 本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． |
44．（2015·济南）如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
| A． | ﹣2＜m＜ | B． | ﹣3＜m＜﹣ | C． | ﹣3＜m＜﹣2 | D． | ﹣3＜m＜﹣ |
考点： | 抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y=x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案． |
解答： | 解：令y=﹣2x2+8x﹣6=0， 即x2﹣4x+3=0， 解得x=1或3， 则点A（1，0），B（3，0）， 由于将C1向右平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y=﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）， 当y=x+m1与C2相切时， 令y=x+m1=y=﹣2（x﹣4）2+2， 即2x2﹣15x+30+m1=0， △=﹣8m1﹣15=0， 解得m1=﹣ ， 当y=x+m2过点B时， 即0=3+m2， m2=﹣3， 当﹣3＜m＜﹣ 时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点， 故选：D． 
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点评： | 本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． |
45．（2015·黄石）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设∠BOC=α，当点C从运动到M时，当点C从M运动到A时，分别求出d与t之间的关系即可进行判断． |
解答： | 解：设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt， 设∠BOC=α， 当点C从运动到M时， ∵vt= = ， ∴α= ， 在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin=50sin t， ∴d与t之间的关系d=50sint， 当点C从M运动到A时，d与t之间的关系d=50sin（180﹣t）， 故选：C． |
点评： | 本题考查的是动点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键． |
46．（2015·黑龙江）如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD．
其中正确的个数是（ ）
考点： | 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 |
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专题： | 压轴题． |
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分析： | 首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADF≌△CDF，求得∠FAD=∠FCD，推出∠ABE=∠FAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan∠ABE=tan∠EAG= ，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG= EG，故②正确；根据AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正确；由∠AHD=∠CHD，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正确； |
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解答： | 证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点， ∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， 在△BAE和△CDE中 ∵ ， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE=∠DCE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH和△CDH中，  ，
∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠HAD=∠HCD， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD， ∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG⊥BE，故①正确； ∵tan∠ABE=tan∠EAG= ， ∴AG=BG，GE=AG， ∴BG= EG，故②正确； ∵AD∥BC， ∴S△BDE=S△CDE， ∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH， 即；S△BHE=S△CHD，故③正确； ∵△ADH≌△CDH， ∴∠AHD=∠CHD， ∴∠AHB=∠CHB， ∵∠BHC=∠DHE， ∴∠AHB=∠EHD，故④正确； 故选：D． 
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点评： | 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角． |
47．（2015·菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=
x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）
| A． | （﹣1， ） | B． | （﹣2， ） | C． | （﹣，1） | D． | （﹣，2） |
考点： | 坐标与图形变化-旋转；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2 ），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH= BC= ，BH=CH=3，所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1，于是可写出C点坐标． |
解答： | 解：作CH⊥x轴于H，如图， ∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B， ∴A点横坐标为2， 当x=2时，y=x=2， ∴A（2，2）， ∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD， ∴BC=BA=2 ，∠ABC=60°， ∴∠CBH=30°， 在Rt△CBH中，CH= BC=， BH=CH=3， OH=BH﹣OB=3﹣2=1， ∴C（﹣1， ）． 故选：A． 
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点评： | 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和含30度的直角三角形三边的关系． |
48．（2015·河南）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（ ）
| A． | （2014，0） | B． | （2015，﹣1） | C． | （2015，1） | D． | （2016，0） |
考点： | 规律型：点的坐标．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题；规律型． |
分析： | 根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标． |
解答： | 解：半径为1个单位长度的半圆的周长为： ， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度， ∴点P1秒走 个半圆， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1）， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0）， …， ∵2015÷4=503…3 ∴A2015的坐标是（2015，﹣1）， 故选：B． |
点评： | 此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题． |
49．（2015·河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4
与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
考点： | 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM= PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数． |
解答： | 解：∵直线l：y=kx+4 与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，4）， ∴OB=4， 在RT△AOB中，∠OAB=30°， ∴OA= OB=× =12， ∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB， ∴PM= PA， 设P（x，0）， ∴PA=12﹣x， ∴⊙P的半径PM=PA=6﹣ x， ∵x为整数，PM为整数， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选：A． 
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点评： | 本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键． |
50．（2015·河北）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
考点： | 三角形中位线定理；平行线之间的距离．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN= AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化． |
解答： | 解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点， ∴MN是△PAB的中位线， ∴MN=AB， 即线段MN的长度不变，故①错误； PA、PB的长度随点P的移动而变化， 所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确； ∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半， ∴△PMN的面积不变，故③错误； 直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误； ∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确． 综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤． 故选：B． |
点评： | 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的定义，熟记定理是解题的关键． |
51．（2015·河北）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）
| A． | 甲、乙都可以 | B． | 甲、乙都不可以 |
| C． | 甲不可以、乙可以 | D． | 甲可以、乙不可以 |
考点： | 图形的剪拼．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据图形可得甲可以拼一个边长为 的正方形，图乙可以拼一个边长为 的正方形． |
解答： | 解：所作图形如图所示， 甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形． 故选：A． 
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点评： | 本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形． |
52．（2015·桂林）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）
考点： | 轨迹．菁优网版权所有 |
专题： | 计算题；压轴题． |
分析： | 连结DE，作FH⊥BC于H，如图，根据等边三角形的性质得∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′= BD=2，则点E′与点E重合，所以∠BDE=30°，DE= BE=2，接着证明△DPE≌△FDH得到FH=DE=2 ，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F1F2=DQ=8，于是得到当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8． |
解答： | 解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=60°， 过D点作DE′⊥AB，则BE′= BD=2， ∴点E′与点E重合， ∴∠BDE=30°，DE=BE=2， ∵△DPF为等边三角形， ∴∠PDF=60°，DP=DF， ∴∠EDP+∠HDF=90°， ∵∠HDF+∠DFH=90°， ∴∠EDP=∠DFH， 在△DPE和△FDH中，  ，
∴△DPE≌△FDH， ∴FH=DE=2 ， ∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2， 当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC， 当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8， ∴F1F2=DQ=8， ∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8． 故选：A 
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点评： | 本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质． |
53．（2015·广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据题意，分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可判断出y= （3＜x≤7），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可． |
解答： | 解：（1）当点P在AB上移动时， 点D到直线PA的距离为： y=DA=BC=4（0≤x≤3）． （2）如图1，当点P在BC上移动时， 
∵∠PAB+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠PAB=∠DAE， 在△PAB和△ADE中， 
∴△PAB∽△ADE， ∴ ， ∴ ， ∴y= （3＜x≤7）． 综上，可得 y关于x的函数大致图象是：  ．
故选：D． |
点评： | （1）此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． （2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握． |
54．（2015·抚顺）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（ ）
| A． | 3 | B． | 1.5 | C． | 2 | D． |
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考点： | 旋转的性质．菁优网版权所有 |
专题： | 计算题；压轴题． |
分析： | 根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积． |
解答： | 解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD= AC′= AC， ∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°， ∴∠DAD′=60°， ∴∠DAE=30°， ∴∠EAC=∠ACD=30°， ∴AE=CE， 在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD= ×3= ， 根据勾股定理得：x2=（3﹣x）2+（）2， 解得：x=2， ∴EC=2， 则S△AEC=EC·AD= ， 故选：D． |
点评： | 此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． |
55．（2015·鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
| A． | （ ）2014 | B． | （ ）2015 | C． | （ ）2015 | D． | （）2014 |
考点： | 正方形的性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题；规律型． |
分析： | 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． |
解答： | 解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3… ∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°， ∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2= = =（）1， 同理可得：B3C3= =（ ）2， 故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1． 则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014． 故选：D． |
点评： | 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键． |
56．（2015·滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣
、y=
的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（ ）
考点： | 相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到 ；设B（﹣m， ），A（n， ），得到BM= ，AN= ，OM=m，ON=n，进而得到mn= ，mn= ，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可解决问题． |
解答： | 解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴； ∵∠AOB=90°， ∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°， ∴∠BOM=∠OAN， ∵∠BMO=∠ANO=90°， ∴△BOM∽△OAN， ∴ ； 设B（﹣m， ），A（n， ）， 则BM=，AN=，OM=m，ON=n， ∴mn= ，mn= ； ∵∠AOB=90°， ∴tan∠OAB= ①； ∵△BOM∽△OAN， ∴= = = ②， 由①②知tan∠OAB=为定值， ∴∠OAB的大小不变， 故选：D． 
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点评： | 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答． |
57．（2015·本溪）如图，在△ABC中，∠C=90°，点P是斜边AB的中点，点M从点C向点A匀速运动，点N从点B向点C匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接PM、PN、MN，在整个运动过程中，△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是（ ）
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
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专题： | 压轴题． |
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分析： | 首先连接CP，根据点P是斜边AB的中点，可得S△ACP=S△BCP= S△ABC；然后分别求出出发时；点N到达BC的中点、点M也到达AC的中点时；结束时，△PMN的面积S的大小，即可推得△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，据此判断出△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是哪个即可． |
解答： | 解：如图1，连接CP，  ，
∵点P是斜边AB的中点， ∴S△ACP=S△BCP=S△ABC， 出发时，S△PMN=S△BCP= S△ABC； ∵两点同时出发，同时到达终点， ∴点N到达BC的中点时，点M也到达AC的中点， ∴S△PMN= S△ABC； 结束时，S△PMN=S△ACP=S△ABC， 在整个运动过程中设BC=a，AC=b， ∴S=[ab﹣VN·t· ﹣（a﹣VN·t）·VM·t﹣（b﹣VM·t）· ] = （ab﹣VNb·t﹣aVM·t+VNVM·t2﹣ ab+aVM·t） =VNVM·t2﹣ （VNb+aVM）t+ ab， ∴△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化， ∴△PMN的面积S与运动时间t的函数关系图象大致是：  ．
故选：A． |
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点评： | 此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． |
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58．（2015·巴彦淖尔）如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2cm/s．若P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
| A． | AE=12cm |
| B． | sin∠EBC= |
| C． | 当0＜t≤8时，y= t2 |
| D． | 当t=9s时，△PBQ是等腰三角形 |
考点： | 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 由图2可知，在点（8，20）至点（10，20）区间，△BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下： （1）在BE段，BP=BQ；持续时间8s，则BE=BC=16；y是t的二次函数； （2）在ED段，y=20是定值，持续时间2s，则ED=4； （3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数． |
解答： | 解：A、分析函数图象可知，BC=16cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=16﹣4=12cm，故①正确； B、如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F， 由函数图象可知，BC=BE=16cm，ED=4cm，则BF=12cm， 由勾股定理得，EF=4 ， ∴sin∠EBC= =  ，故②正确； 
C、如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G， ∵BQ=BP=2t， ∴y=S△BPQ= BQ·PG=BQ·BP·sin∠EBC=×2t·2t· = t2． 故③正确； 
D、当t=9s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC． 此时AN=14，ND=2，由勾股定理求得：NB= ，NC= ， ∵BC=16， ∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形． 故④错误； 故选：D． 
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点评： | 本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．突破点在于正确判断出BC=BE=10cm． |
59．（2015·眉山）如图，A、B是双曲线y=
上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
| A． | 
| B． | 
| C． | 3 | D． | 4 |
考点： | 反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD= BE，设A（x， ），则B（2x， ），故CD= ，AD= ﹣，再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论． |
解答： | 解：过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点， ∴CD是△OBE的中位线，即CD= BE． 设A（x， ），则B（2x， ），CD= ，AD= ﹣ ， ∵△ADO的面积为1， ∴ AD·OC=1，（ ﹣ ）·x=1，解得k= ， 故选：B． 
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点评： | 本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数y= 图象中任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变是解答此题的关键． |
60．（2015·徐州）若函数y=kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（ ）
考点： | 一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有 |
专题： | 压轴题． |
分析： | 根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b的关系式代入k（x﹣3）﹣b＞0中进行求解即可． |
解答： | 解：∵一次函数y=kx﹣b经过点（2，0）， ∴2k﹣b=0，b=2k． 函数值y随x的增大而减小，则k＜0； 解关于k（x﹣3）﹣b＞0， 移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k； 两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5． 故选：C． |
点评： | 本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． |
