2
2x?2xlnxx?2x
000
00
所以g?x??g?x????x.（∵2lnx?x?4）
000
0
min
x?2x?2
00
即m?x，所以fm?fx?2?2lnx?x?2?6,7，即6?fm?7.
????????
0000
2xxx
3.已知函数fx?e?e?xe（e?2.718?，e为自然对数的底数），证明：fx存在唯一极大值点x，
????
0
ln211
且??fx?.
??
0
2
2e4
4e
答案：见解析
2xxxxx
?
解析：fx?e?e?xe，fx?e2e?x?2.
????
??
xx
令hx?2e?x?2，则h?x?2e?1，
????
∵时，?，在上为减函数；
x????,?ln2?h?x??0h?x????,?ln2?
?
x???ln2,???时，h?x??0，h?x?在??ln2,???上为增函数，
由于h?1?0，h?2?0，所以在?2,?1上存在x?x满足hx?0，
????????
00
∵hx在??,?ln2上为减函数，
????
∴x???,x时，hx?0，即f?x?0，fx在??,x上为增函数，
??????????
00
时，，即?，在上为减函数，
x??x,0?h?x??0f?x??0f?x??x,0?
00
?
x??0,???时，h?x??0，即f?x??0，f?x?在?0,???上为增函数，
综上可知，fx存在唯一的极大值点x，且x??2,?1.
????
00
x
0
∵hx?0，∴2e?x?2?0，
??
00
2
2
?x?2??x?2?x?2x
2xxx0000
000
所以fx?e?e?xe??x?1??，，
????x???2,?1?
0000
????
224
????
2
x?2x11
∵时，，∴；
x???2,?1???f?x??
0
444
1ln21
1??
∵ln??2,?1，∴fx?fln??；
????
0??
2
2e2e2e
4e
??
ln211
综上知：??fx?.
??
0
2
2e4
4e |
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