数学的本质是什么？

数学的本质究竟是什么，这个问题很值得科学界与思想界展开一场大讨论。

数学唯心主义的危害，不亚于封建迷信

工具是一把双刃剑。数学工具也是，不小心会从科学进步的工具，堕落为科学倒退的道具。

用思想实验取代物理实验，用数学游戏取代物理原理。这是科学界的一种歪风邪气。

典型的有：用“纯几何的黎曼时空”取代“真空场的物理时空”，用“量子分身术”取代“时序因果律”，用“零维质点分布”取代“三维密度分布”。用“虚无的奇点”取代“固有的空间”。用“抽象叠加态”取代“具体独立态”。

请问，为什么源于科学实践而且用于科学进步的数学，会有可能带来不切实际的神逻辑呢？

数学的本质是化“多变”为“不变”

数学是几何学与代数学的统称。几何学是对多样化物质世界的抽象化。代数学是用符号对几何学的抽象化。

几何学的思维法则是：

把实在的参照物缩小到虚拟的点，把实在的细长物细化到虚拟的线，把实在的三维体投影到虚拟的面。

有了“点+线+面”三个基本的抽象元素，就有了几何学大厦。

必须明白：几何图示可以抽象自然界的真实图景，但是并不意味着：自然界的真实图景就一定是几何图示。这就是要害。

当然，就人造的设计与制造而言，我们几乎可以按照严格的几何原理与方法，生产出纯几何的真实图景。

这就说明：人造的数学，可以直接对应人造的设备，但不可直接对应自然的造物。

爱因斯坦学派，把宇宙空间真实图景假想为黎曼空间，这并不意味着，其引力场方程就真是那么回事，仅凭其否定真空场即可证否。

哥本哈根学派，把基本粒子真实图景假想为零维质点，这并不意味着，其不确定原理就真是那么回事，仅以其密度无穷大即可证否。

代数学的思维法则是：

把各有悬殊的样本多少抽象为数，把径向伸缩的规模抽象为复数的模，把切向旋转的幅度抽象为角，

有了“数+模+角”三个基本的抽象元素，就有了代数学大厦：诸如三角函数、解析几何、微积分、实变函数、复变函数。

必须明白：不管数学建模有多复杂，哪怕含二阶算符▽²或Δ，都该对应一个几何图示，进而对应一个物理自洽的真实图景。否则，充其量作为一个“无比正确然并卵”的数学游戏。

典型的既不能自洽又无法求解的数学建模有：相对论的引力场方程、量子场论引力子方程、26~10维的弦理论方程。

结论

数学的本质是抽象。数学是一门工具技术，虽然可以直接对应一个人造的设计与发明，但是未必可以正确反映自然的原理与机制。

物理新视野，旨在建设性新思维，共同切磋物理/逻辑/双语的疑难问题。

，

数学的本质是——抽象思维，表现为三个方面：①代数抽象或统计方法、②几何抽象或微积分方法、③拓扑抽象或符号方法。

从科学工作者的立场看来，数学最明显的本质，就是它是一种先验的真理体系，不是经验科学。物理、化学、生物等科学门类，正确性是由实验来判定的，公认多年的“真理”被进一步的实验证伪是经常发生的事，如牛顿力学被相对论与量子力学否定。数学却跟实验没有关系，你不可能通过数一数，看1个苹果加1个苹果是不是等于2个苹果，来判断1+1是否等于2。 如果你真的数出1个苹果加1个苹果等于3个苹果，人们的结论只会是你数错了，而不是1+1等于3。如果你说1个原子核加另一个原子核会合并成1个原子核，那并不是1+1等于1，而是这里发生了核反应，不同于数学意义上的加法。这是因为当我们做逻辑推理时，必须有一些在逻辑上位于经验事实之前的、可靠性确定无疑的概念和命题作为基础，数学就属于这样的基础。那为什么教儿童算术的时候，会给他们看1个苹果加1个苹果等于2个苹果、1个桔子加1个桔子等于2个桔子？回答是，那不是证明，只是演示，演示的目的是让儿童头脑中产生数的概念。当他们认识到数的概念后，很快就会理解这个概念是独立于苹果、桔子这些具体事物的，无论谈的是苹果、桔子这样实际存在的事物还是神仙、妖怪这样虚构的事物，1+1等于2都同样成立。用庄子的话，这叫做“得鱼忘筌”。这是心理学、教育学的问题，而不是数学、逻辑学的问题。

数学只认公理体系、演绎法，而经验科学的根基是归纳法。为什么会这样？罗素等人认为数学是逻辑学，希尔伯特等人认为数学是形式系统，布劳威尔等人认为数学是心灵的直觉，哥德尔不完备性定理又表明数学比大家理解得还要复杂得多。要追根究底，数学的本质仍然是个悬而未决的问题，但在实用的意义上，对大多数科学工作者和公众而言，“先验的真理体系”这个事实陈述已经足够。

答：这个问题，每个人都能有自己的答案，我的看法是：数学的本质：一套自洽的逻辑推理系统。

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之所以这么说，我的理由也是相当充分的，但并不完备。

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首先，初等数学的东西很好理解，比如初等数论，初等函数等，在独自的系统内，都是自洽的，我们无法在各自的系统中推出矛盾，这就是数学最大的特点。

但是稍微复杂一点的数学系统，情况就不一样了，比如黎曼几何，在欧式几何中就没法成立，两个系统可以说是不相容的，这里并不合适说两者矛盾，而是两者有着不同的地方，有着各自的适应范围。

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这就给我们带来一个思考，这样两个看似不相容的东西，为什么都正确，都能描述我们这个世界呢？

这就是我要说的内容，每一个数学系统，在各自的体系内相容。

换句话说，只要是一个相容的数学系统，那么该系统就能存在，无论这个系统是否和其他系统矛盾。

比如我们定义一种算符，0+0=1，1+1=0，1+0=1，0+1=0，三个数有四种算法，但是在这个算符体系内，你不可能推出矛盾，那么这也是一个简单的且完整的数学系统，这个系统有用与否，决定了它存在的意义。

数学中，这样的例子非常多，比如我们为了解决三次根求解问题，发明了自洽的复数系统，我们为了解决复杂图形求面积问题，发明了微积分系统等等。

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说到这里，我提一个发散级数求值问题，比较有名的级数是：

很多人对这个级数的求值存在争议，认为发散的级数，怎么能求值呢？？？

我的看法是：如果存在一套自洽的系统，能给每个发散级数赋予特征值，以此来区分不同发散级数，那么将是非常有趣的，因为所有发散级数的势，与全体自然数的势相同的，都是不可数集合，那么给每个发散级数赋值，就应该行得通。

这样的系统，就有存在的意义，实际上，量子力学中重整化思想，也有借鉴这个系统结论，比如全体自然数之和等于-1/12，的的确确出现在弦理论当中。

但目前没有谁能建立这样一个，给发散级数赋予特征值的系统，之前的数学家，比如阿贝尔曾定义过阿贝尔和，后来拉马努金定义了更强的拉马努金和，但都没有把这个系统完整地建立起来。

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数学中有很多奇妙的东西，甚至难以理解的公式，比如欧拉公式，就很难解释清楚这个公式的本质。

而我想告诉大家的是：一个数学系统，只要是自洽的，那么这就是这个系统的本质，就算它难以理解，甚至与常识相悖都无所谓。

最后，要提醒一点，哥德尔不完备性定理指出，我们包含初等数论的的数学系统，都是不完备的，要解释这点的话，已经超出了这个问题的范围。

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好啦！我的答案就到这里，喜欢我们答案的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！

数学是从神学中分离出来的智慧，正如毕达哥拉斯所说：万物的本原是数。

所以，数学的本质就是揭示了：世界运行的规律和智慧形成的逻辑。

最奇妙的数学当属欧拉公式了：数理通用的i：

e^iπ＋1=0

笛卡尔问：“你这i何解？以前没见过。”

欧拉：“根号－1，不存在的数。我称其为虚数， 不真实存在的数字。我定义i^2=-1。那么±√(-1)=±i。”

笛卡尔：“你搞什么？根号下面怎么可以是负数，这不符合根号的定义。”

欧拉：“你说的都是千年前的老皇历了。没有创新，哪有发展？”

同时，斯图尔特认为，“...如果没有虚数，很多现代科技，如电灯和数码相机等都不可能发明。”

虚数继续发展，就变成了数学的一支——复分析，工程师可以利用复分析来进行数据处理。

虚数广泛应用于电气工程学、信号处理和数学理论。 可见，虚数的平方为负1，就是数学中最为本质的数。

而正是虚数的出现，才揭开了数学的奥秘以及后来应运而生的哲学和科学！

另外，信息学之父香农在研究密码学时，发现任何语言都有一定的统计结构和冗余，他认为：“对于信息论的研究而言，与信息的‘意义’基本无关，信息的意义不是在语义上衡量的，而是数学上的”。

可见，虚数的平方为负1，就是数学中最为本质的数。

于是，数学的本质出现了，即，数学就是e、i、兀、1、0这五大因素的排列组合！

东方世界的本源是“道”，即，“道生一、一生二、二生三、三生万物、万物一体”；西方世界的本源是“数”，比如，e^iπ＋1=0，构成一体。即，欧拉公式中的“e（兴趣）、π（灵魂）、i（意识）、1（遗传）、0（基因）的世界与智慧。

（未完待续－，更多的详情，可关注“定慧堂”，我们共同交流和分享）

（二）：

万物有“阴阳”其实是一句神话；而万物有“数学”才是一句人话！因为阴阳可以来回变化，让人无所适从；而数学可以相互证实，让人心中有数！

让我们先学习一下公元前500年时代的毕达哥拉斯学派的观点吧，也别掩耳盗铃，自圆其说，自以为是，以偏概全！

比如，毕达哥拉斯从数学的角度，即数量上的矛盾关系列举出“有限与无限、一与多、奇数与偶数、正方与长方、善与恶、明与暗、直与曲、左与右、阳与阴、动与静”等十对对立的范畴。

其中，“有限与无限”、“一与多”的对立是最基本的对立，并称世界上一切事物均还原为这十对对立。

他认为，“数”为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。

在这个意义上，他们把“数”理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的“点”，有了“点”，才会有“线面体”，有了“立体”，才有了“火、气、水、土”这四种元素，以及后来的“以太”，从而构成万物。

所以，数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。

“数”是宇宙万物的本源，研究数学的目的并不在于使用，而是为了探索自然的奥秘，并试图从上帝的视角中找出世界的真相和智慧的真谛！

总之，世界是圆的，各有所表也是正常的，但千万不能井底之蛙，瞒天过海而得意忘形！

（未完待续二，更多的详情，可关注“定慧堂”，我们共同交流和分享）

我认为数学是门集逻辑思维和抽象思维于一身的学科，数学很神奇，我喜欢研究数学，在研究费尔马定律的同时，也推出了许多公式，下面就出几个题让大家玩玩。

1，12的平方=c的平方一b的平方

c，b有多少组整数解，它们分别是多少，这是一个公式的应用。

2，48=c的平方一b的平方

c，b有多少组整数解，它们分别足多少，这也是一个公式的应用。

3，o、21=c的平方/m的平方一b的平方/m的平方，m，c，b为整数，它们有多少组整数解，分别是多少这又是斤公式的应用

4，分解因式a的n次方一b的n次方=，n为奇数

5分解因式，a的n次方十b的n次方=，n为奇数。

数学是科学的皇后，所谓皇后，就是要辅助科学的。所以数学更本质的用途是工具学科。

正因为数学强悍的工具性，导致任何一个国家从小学到大学，必须要开设数学课程，其他的自然科学可以等学生高年级时再开。比如：物理、化学、生物。

数学一定是滋生在其他学科的土壤之上

比如古希腊时期的喜帕恰斯，为了研究天文学，也就是研究太阳，月亮与地球之间形成的角度问题，而诞生了三角学的萌芽，从此之后，三角学逐步被完善发展到今天，所以喜帕恰斯也被封为三角学之父。

比如实际生活中需要测算圆的面积，球的体积。在中国诞生了割圆术，在此基础上才有祖冲之的圆周率的计算。为了求出球的体积，祖冲之父子二人合力研发祖暅原理：幂势相同，则积不容异

通常为了解决物理问题，为了解决实际问题或者天文问题，诞生了数学的学科。

数学来源于其他学科，又比其他学科更深层

如刚才所说，通常为了解决其他问题，才想起的数学工具，当数学工具一旦奏效，我们拿着这个工具又可以解决很多其他的问题。这就是数学的工具性。

比如我们想砸开一个核桃，于是做了一把锤子，后来发现这个锤子不仅可以砸核桃，还可以砸榛子或者钉钉子，甚至在打架的时候，他也能派上用场，这个锤子就是数学。

再举一个数学中真实存在的例子，为了解释芝诺悖论，引发了第二次数学危机，在此基础上诞生了微积分学，微积分很好的，解决了这个悖论，实际上我们可以看看微积分的力量，在现代科学里，离开微积分，简直寸步难行。

以上是我对数学工具性的理解，欢迎大家补充讨论

数学是描述自然界和自然规律最准确的语言。常规语言对自然现象的描述是定性描述，具有不确定性。比如说快，300公里每小时是快，32万公里每秒也是快。

数学起源于人类生产和贸易活动的需要，结绳计数就是数学的源头。数字和单位的出现，使人类准确描述物理量成为可能。

数与形的结合，起源于农耕的需要。土地需要测量面积，于是便有了平面几何。欧几里德是第一个将数与形完美结合，并将之通过逻辑演绎形成完整知识体系的人。逻辑演绎是需要逻辑原点的，欧几里德把这些逻辑原点称之为公理。在欧几里德眼中，公理是不需要也不可能被证明的绝对真理。

显然，这种前提假定带有缺陷性。后来有一个名叫黎曼的人发现了欧氏几何的缺陷，创立了黎曼几何学。再后来，有一个名叫爱因斯坦的犹太人以黎曼几何学作为描述工具，创立了广义相对论。

如果说欧几里德把数与形完美结合，完成了数学的第一次扩展和飞跃，那么函数和方程式的出现，应该是数学的第二次扩展和飞跃。函数和方程式描述的对象是变化的量以及这些变量之间的内在逻辑关联。众所周知，自然界的物理量是变化的量，而且彼此之间存在逻辑关联，所以函数和方程式成了物理学家描述物理定律的首选工具。

自从牛顿和莱布尼茨创立微积分之后，数学进入了高速发展期。现代数学分支宛如一棵参天大树，枝繁叶茂。人类应该记住这些人的名字：祖冲之、毕达哥拉斯、欧几里德、笛卡尔、高斯、黎曼、欧拉、傅立叶、拉格朗日、马尔诃夫……等等，这些人灿若群星。

在这些人当中，还有一位健在的中国人，邓聚龙教授，他是灰色理论的奠基人。德国总理默克尔来华访问时，曾经特意提到邓聚龙先生。

说到数学的本质，就其内涵而言，是想象力、逻辑演绎和归纳。就其实用性而言，我觉得数学其实就是一门语言，是全人类共同的语言，科学的语言。

数学本质为:

A、

数学本质就是自然哲学或自然原理的量化表达之后的纯量逻辑研究，即就是形式逻辑表达，包括演绎逻辑和归纳逻辑，数学本质就是科学的本质表达。

B、

关于人类的种族、禀赋、文明、语言、文字、科技（逻辑与顿悟、实证与数学）、艺术、政治等的思考。

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A

数学本质为自然哲学或自然原理的量化表达之后的纯量逻辑研究（演绎逻辑和归纳逻辑），即用于表述、推论事理物理的数量关系和空间关系(空间关系在坐标系中，本质可以表达为数量关系。)。故，数学为科学的基石或科学的工具、科学的仆人。又有人说，数学是自然科学的女王、王冠。

1、数学依赖于或表达出: 逻辑及其数量(变量)关系。前者，逻辑就是因果关系或平衡关系、序列关系、集合关系，用等号表示。后者，数量(变量)就是关于前者的线性或非线性处理，如四则运算或函数运算，用各种算符表示，如布尔处理、优先处理(括号)、加减乘除、幂/对数，以及在此基础上的微积分等。

注: 这里仅仅指最基本功能的算符，严格来说，微积分、幂/对数以及其它非四则运算，本质也是(可分解为)加减乘除，而加减乘除，最终本质是加法，而加法的最终本质最简单本质是0和1，而0和1即二进制，本质上是布尔关系即逻辑真和假，从这个角度上说，计算机可以处理任何数学问题，也即可以处理任何科学问题。布尔的真和假，可以用电脉冲表达，从这个角度上说，数学的本质仍然没有摆脱唯物主义，尽管其号称为最高级的形而上学和形而下学的表达工具。因此，数学和计算机，本质上是孪生姐妹。

2、数学的发展阶段。原始数学、古典数学和近现代数学，以十七世纪中页为分界线，因为上述算符在十七世纪中页才出现和完备，如最简单等号“=”和加号“+”在此期间才明确确立，之后才推广普及。故，古典数学整体上是不成体系的，但古典数学贡献了演绎逻辑思想和精炼字符表达习惯， 这最典型的就是古希腊的《几何原本》。说古希腊的数学为古典数学，从算符和数字的角度看则是拔高了他们。因为直到十三世纪上半叶，源自古印度的阿拉伯数字和十进制才出现普及，在此之前的数学属于原始数学。另，十七世纪中页，直角坐标系也出现了。

（注: 古代中国的数学成就很高，有很强的实际解决能力，远高于同期西方，如各种应用算法口诀和灵活运用各种数制，如市斤十六两，甲子循环六十年、天干地支十二属、易经的本质也是二进制，本质上属于应用数学，有算筹(算盘)，但由于缺少字符、数字、算符，是一种特殊的古典数学。由于缺乏形式逻辑表达字符/字母的工具，古代中国人只能依靠发达的智商和顿悟（汉字在提高智商方面也功不可没）来建立数学理论或总结，但随着社会和经济的发展，对数学的应用越来越复杂越来越精密越来越迫切，卒之由于缺乏数学表达工具，最终导致中国古代数学的逐步落后。）

实际上可以这么说，西方人的古代数学只有四百年，即十三世纪到十七世纪，之后就进入到了近现代数学。虽然历史时间短，但在这短短的四百年时间，数学所极度依赖的字符、数字、数符、数制、算符、坐标，皆反复酝酿而出。这就是字符(字母)语言的优势。

值得一提的是，代数表达和代数学、三角函数学，它们的起源和雏形来自阿拉伯人。

所以，总的来说，近代数学并没有你想象的那么久远，或者说，古典数学远没有没有你想象的那么强大和好用！

3、变量概念---代数学，坐标的使用---解析几何，都在十七世纪中页出现，标志着近代数学在文艺复兴后期将和生产、工业、航海、天文、科技紧密结合和应用，这反过来又极大地促进了数学的发展。这个时候开启了人类数学文明和科学文明的正循环。中世纪近千年的黑暗中的摸索和积累，终于结出了蕾蕾果实--近现代文明的种子，数学，即将迎来大爆发。

4、线性和非线性。线性，一般为一元或一阶函数，坐标中表现或表达为直线; 非线性，为多元或多阶(高阶)函数，坐标中表现或表达为曲线。

变量之间的关系如果是恒定的，则为线性，否则为非线性。变量之间的关系其实就是比值法，比值就是坐标系中的直线斜率或曲线的瞬间斜率(微分)，亦即系数、常数、算子恒值。具体到物理学表达，通常比值就是一个新的物理量或一个系数、常量、常数、常系数甚至为自然哲学常数如光速c万有引力常数g普朗克常数h等等，因为它定义或得到了一个变量关系值(即斜率，二变量之间的关系)，若线性则为“恒”值，如Ⅴ=L/t，a=F/m。非线性转为线性分析，必须通过一次或多次微积分，即所谓一阶微积分(一元)、二阶微积分(二元)、N阶微积分(多元)。

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数学为科学的基石或科学的工具、科学的仆人。搞清楚数学的本质，是非常值得，非常必要的，是断然必须的。搞清楚了数学的本质，也就搞清楚了科学的本质。

数学的内容还很多。。。不过，以上四点是相当关键。

啰嗦了那么多，最简洁表示一下，以上那么多就是下式而已(最简单的一元/一阶线性函数表达)，其实，貌似如此简单的表达，已蕴含了先人的无数智慧和努力，因为你站在了巨人的肩膀上。

y=F(x)，F(x)=ax+ε，y=ax+ε，F，x、y、a、ε为字符表达，通常用字母表示。F表示函数，()为优先级符号即括号内有自变量，F(x)或y为因变量，ⅹ，y为二相关变量（x为自变量），a为相关常数、系数、斜率，+为加号，ε为残差项也是常数。

函数y=ax，也即a=y/x，或x=y/a，这就是比值法所得的“单价”或系数、斜率，x和a是可以互换的，可互为自变量和系数/斜率。之所以啰啰嗦嗦强调系数/斜率，是因为这涉及到自然变量如

定义物理变量等主要是依据比值法来定义的。

关于数学本质的研讨，微积分（几何、曲线、运动、物理量的变化率等极度依赖此数学工具）的本质就是主要研讨方向之一。

定义物理变量基本有二法，即比值定义法和均值法，如速度v=L/t，可见，其实比值定义法即均值法的特例或者说二者本一回事。比值法/均值法其实本质是定义一个便于衡量和比较的单位值，尤如市场的菜价，几乎所有的基本变量构成了自然哲学这个市场的各种肉菜单价，这种定义是静态定义。

本质上，均值法是定义一个便于衡量和比较的单位值。在代数的等式/公式/方程/函数中，均值法表示或定义为比值法、系数、常数。在几何、运动或坐标系中，均值法又可表示或定义为斜率。在统计学和概率论中，均值法又可表示或定义为中心值和方差基础。

对物理或自然哲学的探究解释，通常会先静态定义，这符合人类先宏观/模糊的认知的规律。但随着研究观察的深入，将会考虑对变量进行瞬态/动态的定义，如对瞬时速度或加速度的定义，即ΔV=ΔL/Δt，这里用Δ表示各变量变化微值(瞬变值)，则ΔⅤ/Δt=ΔL/Δt/Δt，ΔⅤ/Δt的微分意义为速度变化率即加速度，可设为a，当速度Ⅴ为恒定或匀速运动时，a为0，当受力后重物启动慢轻物启动快，则又可如此表示，a=F/m，即若受同样的力越重启动越慢即a越小。a在市场中的“单价“意义即平均到每克质量受到外力后的启动/运动/速度效果。

当Ⅴ为变速即为时间函数Ⅴ(t)时，a等于Ⅴ(t)对t求导，当L为时间函数时即L(t)，a等于L(t)对t“二阶”求导。

有没有不变的肉菜“单价“呢？有，那就是自然哲学的各种常数/系数，如光速v万有引力常数g普朗克常数h等等，为数还不少，这是自然哲学这个变化市场中的“固定”锚或“骨络“，尽管这些“固定”锚或“骨络“是由肉组织生成而来的（由变量之间相互定义/比值而来，注意，这里的“络”强调或体现了这些常数系数的本质在于决定或被决定于变量间关联关系，也说明了体系的“脉络“来源），它可以就使得各学科各理论的“相对”关系/位置严密化“数量级”化，这为精准应用、测量，仪表仪器制造、应用、使用打下了“无误”的基础。常数乃比值或“参照系”定义，即由不同等式/公式/方程/函数定义，甚至绝对定义(如1秒的绝对定义为由铯原子振荡次数决定、1克的定义等等，绝对定义的好处是不受比值法的可能的潜在误定义)。

比如常见的物理常数，万有引力g=G/m=Frr/m1m2; 普朗克常数h=E/ν=P/λ， 。。。

比如常见的数学常数，圆周率π=C/d=S/r∧2，周长C、面积S、直径d、半径r ;

自然常数e=[(1+x)/x]∧x |x->∞， 。。。

奇异的是，某些常数往往有些特异的性质，如以e为底的指数函数的导数与其相等。越是有特异的性质或该常数系数可由多个等式/公式/方程/函数去定义、关联则该常数系数越有意义，因为这更肯定了其“固定”锚或“骨络“的涵义。

在微观或电磁学领域，常数/系数/斜率的表达要复杂些，如，著名的通信领域的香农公式：

C/B=log2(1+S/N)，即在一定的所承载的信道带宽B（频率）下其通信容量C（码速）和成正比于该通信过程中的信噪比。（噪声大就信号差，其实人类本能就知道这个正比关系，但是要找出具体表达是个不容易的过程。这里又将引出“人类本能感验或先验知识和客观知识的关系"，在此次不述了。）

又如，电磁学中的麦克斯韦微分方程组表达。（略）

简单通俗的数学角度理解，固定”锚或“骨络“的本质就是线性，这是一切变化、微分、变分的基础，非线性是由无数的极微/瞬微的线性构成。非线性最终转化或简单化后的要求就是线性。

只有“肉菜单价”才微分意义，一个量微分是无意义的，表示无穷分割或无穷小，二个量微分后相乘也无意义，但相比值后(在坐标系中，该比值就是二变量的相关系数即斜率，在曲线上就是无穷分割小后的各点斜率)，微分成立，即逻必塔法则！本质即单价变化率或单价变化比率之意！！

只有能对变量进行动态定义之后，人类才真正解释和把握了貌似复杂变化无常的不断运动中的自然。真正的自然哲学的数学原理(科学)才算真正开始。

求导就是对函数进行微分的说法，我们知道微分就是一个瞬间静态，这个瞬间的静态，有趋势导向意义，把当前的静态和未来的瞬态联系起来了。具体可参考圆周运动的瞬时加速度表达。

微分的反过程，即对微分进行积和，为积分也。

一微一积、一分一和，即微分/积和，故“微积分”称为“微分积和”更恰当！！！

有人会问了，既然公式和定义是人为的，为什么会这么多？你能保证它们都正确准确么？

（如，就拿欧姆定律来说，IRU的单位都是人为定义的，那又怎么能说明I=U/R呢？）

一、

关于人为、主观，与客观的关系，说起来就是就多了纠结了。这里暂且不理。

尽管公式是人为定义的，但却是符合客观现象和规律的。因此，虽然公式是人为定义，但符合客观的角度看，该公式可以认为是自然的规律/原理表达。关于这一点，在牛顿的时代，人们就已经认识到了，如牛顿就认为自己不过是揭示了自然的秘密、上帝的法则，并为此而骄傲。他从不认为自己的理论是主观的人为的，甚至竭力避免的这样的倾向，否则这是对上帝的不敬和不自然的、不公正的。

正是因为主观必须符合客观规律的作用，导致人类许多知识理论都在不断修正和进步，包括从亚里士多德的理论到牛顿经典力学到爱因斯坦相对论。。。。

二、自然哲学是个庞杂的大体系，一旦进行了量化和定义，必然会很多公式，这并不奇怪。但所有理论最终会相互演绎和定位，然后从公理化出发，构建成为一个严密的逻辑演绎理论体系（在此过程中，会发现并废弃、整合各种形式的量化表达），这里面，诸多公式体系里的常量/常系数作为“锚”或“脉络”就起到理论体系骨骼的固定和相对数量位置关系了。所有公式在有意或无意中会在应用运算中相互涉及到相互推演的问题，最终人们自然而然就会考虑将它们用公理化的方式演绎出来，以便不冲突地进行应用和便于逻辑地系统学习。注意，公理化演绎，虽也是人为过程，但也是客观无误的。

三、例，欧姆定律，R=U/I，就某电阻材料来说，R是常数，并不随外加的电压电流影响。

I=U/R，电压U和电流I都是客观存在的，对电阻材料施加电压大小明显导致电流的大小不同。

关于该式的生成过程中，首先人们很早就知道了电压大小的不同的效果，如对同一材料施加不同电势其发热效果就不同，且随着材料导体材料长度减少发热增加，这说明了在电压正比于电阻反比于某物理量，表现在电压_电阻的坐标图上，是一直线或曲线，该斜率经过一段时期摸索，得出该斜率即是电流，同时也应证了安倍电量对时间平均得出的电流的猜测。

四、这种提问，本身属于不可知论，容易陷入本体论泥潭里，这是由于缺乏辩证唯物主义思想导致的。

数理量化表达通式/范式说明：

几乎所有的西方钻牛角尖的数理表达的最基本基础都基于或源于一个一维两变量关系通式，即: Y=dy/dx*X 或 Y/X=dy/dx，当斜率dy/dx为正整数a时，则为线性关系即Y=aX（斜率固定），坐标图为一直线。当斜率dy/dx为负整数或小数或非常数（如仍为含X的表达函数）时，则为非线性关系（动态斜率或者说是瞬态斜率），该式即为倒函数或高阶函数或微分表达，坐标图为一曲线。当X和Y关系难于精确表达时或没必要表达时，则可用Y_X坐标图直接描述，使用时照表查图查值即可，又或用近似函数拟合亦可，这在工程或工艺上也常用，还往往是所谓技术/工艺的秘密或保密参数或保密图保密值。Y/X和dy/dx的本质是表达一个可用于精确衡量事物的一个平均值概念（可瞬态），即所谓单价/斜率/系数/参数(自然哲学就相当为关于事物所有的“肉菜市场”)。。。西方的自然哲学的数学描述，本质上就这回事，很简单。其优势在于精炼对称规整的字符字母、数字及数学符号，汉字无这优势和便利，关于这点，但无数仁人志士却反复研究于所谓中西文化/文明之别。。。

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y=F(x)，F(x)=ax+ε，y=ax+ε，F，x、y、a、ε为字符表达，通常用字母表示。F表示函数，()为优先级符号即括号内有自变量，F(x)或y为因变量，ⅹ，y为二相关变量（x为自变量），a为相关常数、系数、斜率，+为加号，ε为残差项也是常数。

这种式子或公式，只有十七世纪中页是以后的人才能看得懂，至今不过四百年。确切地说，F(x)函数式表达，直到接近十八世纪中页才明确并推广，至今不过三百年。

这种表达只能诞生在有规则的字母文字系统(拉丁字母最简洁、且兼顾了对称和端正)，用汉字和其他字符如阿拉伯字母等，是不会有这个效果的。目前，人类和地球上还找不到比这个更简洁的字符文字系统。

但汉字在高维和复杂系统化应用中，优势又展露无遗，因为汉字是高智商、高信息熵值的，表现在工程图纸和复杂应用系统图纸中，能高效表达(篇幅在各种文字系统中是最薄的。)。故，字符字母文字系统适合于低维逻辑表达或基础物理表达，而汉字更适合高维的、复杂的应用的表达。这也是东亚汉字国家能迅速工业化的重要语言因素。

故，国人要发展基础科学，首先要学会降维表达，即要习惯用字符字母去形式记录、表达、描述事理物理以至定义变量，此即所谓“形式逻辑”，十分便于记录、精炼记录、便于记忆，以及保持仪式感平衡感和推导感推理感，事实上也确实是便于平衡推导推理(尤其是等号“=”，推导号“-->” “>”，反推导号“<--” “<”，集合号{}，以及各种数学符号等功不可没)。

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数学，本质就是形式逻辑表达，或者说形式逻辑就是数学，数学可以表达描述一切！！！

形式逻辑表达的简单举例：

有人对数学可以表达描述一切感到不以为然或认为不可能，如有人刁钻地要求一块石头的数学公式？

答案：

Any=Stone(x)，Stone为石头函数，ⅹ为石头各种特征值，如大小、质量、质地、颜色、形状。此表达式为泛表函数，具体取值和条件，再相应分列或变形表达。。。

有人钻牛角尖说，明天我要去北京，会遇到怎么问题，你能用数学公式表达？！我不信，你可以用数学方式把我去北京路上所遇到的情况都列出来吗？？

答案：

使用Question=δ*To(x)或Q<--δ*To(x)的形式，Q即question，To行为函数，x为目标变量如Beijing，δ为条件参数，且x和δ有相关性，则该量化式的(x,Q)坐标关系/图为直观表现为特异性离散函数点图。

这就是形式逻辑也即是数学表达的威力：简练而能无所不包。

第一步，对于事物或事务，适当分解或理想化（抓住主要矛盾或矛盾的主要方面，防止次要因素干扰），其主要概念或需求，先用字符/字母尽量精炼表示先“固定“下来，便于记忆记录和保持仪式感或平衡感，并方便为下一步的推论做形式表达准备。

第二步，修正变量和参数及其表达，使其符合逻辑关系如因果、序列、枚举、排中、并或等关系，并以此限定变量的取值范围。 形式表达，清晰、精炼、易记、易量化、易使用，方便推导。

以上为自然事物/事务的数学描述例子，有人还不服气，说能不能在人文领域或难于量化的领域也能用数学去描述，答案是肯定的。

比如，职场生存，提升提拔很重要，那么职员做人做事能不能符合上级/领导要求就非常重要了，因为上级/领导压力和任务也很大，需要职员的各种支持，为了让上级/领导少费心操心而放心，那么交代给职员的工作或工作责任就必须又快又好全面地干好，那么职员做人做事通常情况下就需要符合这三项：做人做事或工作完成的方法--尽量巧和有成效，做人做事或工作完成的时间--尽量快或提前，做人做事或做工作完成的度-尽量全面仔细，那么在数学上可以用下式精简表达。

把职员的行动放置在左侧，把其效果和目的即上级/领导的需求作为右侧，用等号把它们的因果关系或次序关系联系起来，把最终的效果用“-->”表示，则可建立如下式：

{Ok(巧--way，前--time，全--space)=No(费言费心，操言操心)}--> for(放心) ，

办事函数即Ok(x)，x有三变量或参数way、time、space，简略为Ok(w,t,s)，可简称wts办事法。No(p)函数为上级/领导状态函数， for(q) 为上级/领导的需求结果函数。

此即汉字“时空径“，非常合国口，不过在精炼度等式度和符号感学术感上，"WTS"可能更合适。

当然这个例子已经不完全是数学，而是带有编程逻辑语句（定性）的意味。

随着人工智能AI的发展和需求，对相关的人工智能的数学模型有迫切需求，大致有几种方式，其中之一为统计数据建模定义为某些数学特征值，另一个方向即模拟人类神经网络的数学模型。这些模型往往同时涉及到数学模型和编程逻辑（人类语言逻辑）的建模，人类之所以有信心创建人工智能，其根源也是来自于“形式逻辑的数学可以表达描述一切”，在尝试建立数学表达时候，不断尝试和试错，最终是可以建立人工智能的数学范式的。具体可参考人工智能的数学理论。无论如何，有一点是肯定的，最终目的是将可以建立简单易用的人工智能的编程语法，一种可高度脚本化的高级程序语言，事实上这也是编程语言的根本发展方向和目的。在此，数学和计算机这对孪生姐妹再次深度融合和互惠。

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形式逻辑依赖于一维字母字符，和基维数字数符尤其是当该式具体数值时候， 使用形式逻辑，是文化文明习惯所致，且和使用字母文字有关(必须是精炼规整对称型字母如拉丁字母，其它类字母不对称奇形怪状不够规整只会带来累赘)。

以上为采用形式逻辑的定量表达: 数学等式--逻辑量化范式。

形式逻辑有上述的定量表达方式，也有以下定性表达方式:

定性表达: 编程语法--逻辑定性范式。有逻辑语句如：if/then/else，for/while/until，exit/goto；有定义语句如：类/对象（class/object），方法/函数（methods/function），架构/实例（pure/schema），还有定义或限制变量和数组等等，其实编程语言就是人类语言中的明确的逻辑语句部分（精炼化）和定义语句部分（精炼化）而已，即高级语言的脚本化、低级语言的物理化！

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人类自然哲学的两朵金花，

定量表达：逻辑量化范式--数学等式；定性表达：逻辑定性范式-- 编程语法。

前者带来了工业，或者说应用于工业则带来了精准、标准、高效的规模生产效益，极大地解放了人类的双手。后者则建立了计算机应用的庞大的逻辑体系及其数据生产效益，极大地解放了人类的大脑。

国人只要适应并习惯降维表达，这些细腻细致准确的关系表达，不难矣，简单矣！！！甚至可以自己定义自然变量或创造各自需要或合适的编程语言，当它们受到检验并被规范普及，则就是所谓科学或正确理论了。

尽管这种貌似字符的“游戏”，对于掌握高维文字的汉字文化圈的人来说，有点钻牛角尖和死磕/一根筋的味道（通常情况下，形式逻辑本质上不需要想象力和顿悟协助，但形式逻辑是研究底层逻辑和真值的最佳工具），但是不降维去适应和创建，就很难体会其中基层的暗含的逻辑和真值，以及可逐步发展起来的理论具有坚实的底层磐石（当然过程中难免不断试错或有错误，但可不断纠正，尝试和纠正的过程也就是演绎真值的过程），这就是演绎逻辑的特性。

或许这种字符描述与处理事物/事务的模式，会最终令到汉字文化圈的高维所具有的高智商和顿悟，被丧失（想象力和顿悟能力的丧失）。。。，难道或许这就是文字文化的宿命代价？。。

未来人类的希望在于东方和汉字文化圈，因为汉字的高维和高信息熵值能轻松适应信息社会和后工业社会，但前提是国人能在高维与低维之间自然自如地切换，目前在科技应用领域，汉字文化圈能高效轻松处理低维的科技和工业，但在创建低维数学形式逻辑方面还不够努力，或者说是某种程度上或意义上的天生的不习惯不适应（即所谓李约瑟难题或钱学森问题），未来值得认真对待，则未来获取理论型的诺贝尔奖也必将如探囊取物、易如反掌---毕竟高维能力摆在那！！

【诺奖大体可分为发明型、发现型、理论型，汉字文化圈的日本连续多年获得的诺奖几乎都是前两种类型，前两种类型极度依赖昂贵的仪器和材料去研究，成本极高，或者能透过用想象力和顿悟去开发出实用的材料处理方式，比如著名香港学者光纤之父高琨先生。由于自然科学方面理论相对完善了（但人工智能/AI数学和生理学除外），预计未来在复杂又似乎可量化的经济学方面的理论研究、挖掘有很大空间以及AI基础理论方面，暂预计可能还是西方人得奖可能性大，因为经济学很多领域和AI基础理论都急需建立新的理论字符量化表达方程，而其实汉字文化圈的人还未能完全适应习惯降维表达；但在医学生理学方面还有巨大发现空间和药理药物基因等发现发明空间，这方面，则预计汉字文化圈将取得优势，一则这些领域不要求过多建立新的理论字符量化表达式，但却对空间思维和顿悟、想象力有较多要求，而这却是汉字圈人的优势，事实上建国后国人第一个自然诺奖就是屠呦呦的医学生理学奖。不过汉字文化圈出了一个理论物理学界的全才型的杨振宁先生（其理论发现的地位犹如牛顿或爱因斯坦），其巧妙的数学应用能力非同小可！即使后来他海外留学但基本学识观仍来自/深受出国前的当时的国内大家的影响，这说明经过训练和执着，汉字文化圈的人是可以完全适应并习惯降维表达的！】

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B

关于人类的种族、禀赋、文明、语言和文字、科技（逻辑与顿悟、实证与数学）、艺术、政治等的思考。（未完待续）

世间的万事万物都有数与形这两个侧面，数学作为研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学，是剔除了物质的其它具体特性，仅仅从数与形的角度来研究整个世界的。

·1. 数学是一类常青的知识

作为小学、中学到大学必修的重要课程，数学是人类必不可少的知识，这一点不会有人疑问。人类的许多发现就像过眼烟云，很多学科是从推翻前人的结论而建立新的理论的；然而，古往今来数学的发展，不是后人摧毁前人的成果，而是每一代的数学家都在原有建筑的基础上，再添加一层新的建筑。因而，数学的结论往往具有永恒的意义。欧几里得是二千多年以前的古希腊数学家，然而，以他命名的欧几里得几何至今还在发挥着重要的作用，其中的勾股定理，不仅没有被人认为老掉了牙而不屑一顾，相反还被人称为千古第一定理，一直被高度颂扬、反复应用，就充分地说明了这一点。

·2. 数学是一种科学的语言

伽利略曾说过：“大自然这本书是用数学语言写成的。……除非你首先学懂了它的语言，……，否则这本书是无法读懂的。”数学这种科学的语言，是十分精确的，这是数学这门学科的特点。同时，这种语言又是世界通用的。加减乘除，乘方开方，指数对数，微分积分，常数等等，这些数学语言和符号一开始虽然可能五花八门、各有千秋，但早已统一为一个固定的样式，世界各地通用，对我们的掌握和使用是十分方便的。

·3. 数学是一个有力的工具

数学在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用，已经是有目共睹。在现代，数学作为现代化建设的重要武器，在很多重要的领域中更起着关键性、甚至决定性作用。我们国家在两弹一星研制中的出色成就，凝聚了不少优秀数学家的心血，就是一个突出的例子。

·4. 数学是一个共同的基础

现在，不仅在自然科学、技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，得到有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础。离开了数学的支撑，有关的科学已很难取得长足的进步，很多学科（特别是很多自然科学学科）近年来甚至已经出现了数学化的趋势。

·5. 数学是一门重要的科学

数学忽略了物质的具体形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界，它和哲学类似，具有超越具体学科、普遍适用的特征，对所有的学科都有指导性的意义。现在的数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。

不要认为，我们已经学过的数学、包括已经了解的数学，就是数学的全部。其实，中学里学习的数学，大体上属于初等数学的范畴，而大学本科所学的高等数学，是以牛顿、莱布尼茨在十七世纪创立的微积分为标志和起步的，到现在也已经有三百多年的历史了。数学远比我们已经看到的要丰富多彩，说数学的内涵博大精深，是一点也不过分的。

但是，数学愈发展，不是使事情变得愈来愈复杂，相反，处理问题会变得更简单，人们认识世界与改造世界的能力也愈来愈扩大，这会使我们愈学愈感到数学的魅力，愈学愈想学。

过去小学六年级的算术课，“鸡兔同笼”是一个顶级的难题，说是将一些鸡和兔放在一个笼子里，例如说，已知头数=10，足数=28，问鸡多少只？兔多少只？由于鸡只有两只脚，而兔有四只脚，问题就复杂了，而且算术课的要求是要一步写出答案来，那就难上加难。但到中学学了代数，只要设鸡为x只，兔为y只，根据题意列出一个二元一次方程组，很快就可解答问题。

中学里学的平面几何，为了证明，要挖空心思画辅助线，实在是对智力的一个重大挑战与考验，但学习了解析几何，将代数与几何结合起来，过去绞尽脑汁才能求解的几何问题就一下子变得轻而易举了。真正好的数学，是愈来愈深入、愈来愈简明、愈来愈有用的。

·6. 数学是一门关键的技术

过去一支笔、一张纸就能搞定的数学，竟然可以成为一门技术，似乎是匪夷所思。但是，数学的思想和方法与高度发展的计算技术的结合的确已经形成了技术，而且是一种关键性的、可实现的技术，称为“数学技术”。在这种技术中起核心作用的部分是数学，拿走它就只剩下一堆废铜烂铁。

我们在医院里看到的CT这一先进的技术就是一个突出的例子。它的本质，是利用X光从各个不同角度所拍摄的众多平面照片，恢复出体内物体（如肿瘤）的立体形状，这完全是一个数学问题。这样，数学的内涵物化为计算机的软件及硬件，就成为技术的一个重要组成部分与关键，从而可以直接地转化为生产力。现在，“高技术本质上是一种数学技术”的说法已为愈来愈多的人们所认同。

·7. 数学是一种先进的文化

数学是人类文明的重要基础。它的产生和发展伴随着人类文明的进程，并在其中一直起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。因时间关系，下面仅举计数与进位这一个简单的例子来加以说明。

大家知道，数学开始于数数。原始人只能区分1与多，碰到3就觉得多了，三人为“众”大概就是这样来的。后来有了十进制，用1，2，3，4，5，6，7，8，9和0这十个数字，再加上逢十进一（以及一个小数点），就可以表示世界上任何一个数字。这是现在的人们从小就知道的事实，似乎是天经地义的。

然而，这却经历了一个漫长的历史进程，是数学给人类文明带来的一个不可磨灭的巨大贡献。没有了它，稍微大一些的数字就会使人晕头转向，更谈不上庞大的天文数字或是极其微小的数字了，现今金融行业或科学试验中种种复杂或高精度的数学运算根本不可能进行，我们还能有如此高度发达的文明社会吗？

这样的例子还可以举出很多，但就从这个例子已足以看出：数学过去是、现在是、将来也将是一种先进的文化，它带领着、推动着、影响着人类的文明进程，深刻地改变着世界的面貌，也改变着人类本身的思维能力和认识水平，改变着人类的本身。人类充分享受着数学文化的恩惠，但往往浑然不觉、习以为常，“身在福中不知福”。

长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具，一直发挥着举足轻重的作用。

尤其在当代，数学作为经济建设的重要武器，作为各门科学的重要基础，作为人类文明的重要支柱，在很多领域中已起着关键性、甚至决定性作用，数学技术已成为高技术的突出标志和不可或缺的组成部分，数学的影响和作用可以说是无处不在，其重要性也已为越来越多的人所认同。这样，不仅在中、小学，而且在大学的很多系科中，数学都位列最重要的必修课程，就是理所当然的事了。

关于数学的本质是什么？我曾经的一位导师曾说过，最简略的回答：数学是抽象。

因为数学研究的是抽象概念，运用的是抽像方法，数学的发展体现为抽象程度的逐渐深入。

但是深入的话，数学的本质并没有定论。我将在下面分三个部分展开， 提供的维基链接中提到的各种观点做一个简短的解释。 分别介绍一下普通数学，

普通数学 :对应于维基上说的现实主义数学，逻辑主义数学。大多普通群众，科研工作者，和很多数学家，都采取这些观点。在这些观点下，数学与现实紧密结合，因此其应用当然也非常广泛。

这其中比较肤浅容易理解的观点是： 数学是生产生活生存的需要，比如几何是为了丈量土地，数学是工具。

比较靠谱的想法是： 数学是无实体的，永恒的客观存在，是等待被人发现的自然规律。

提问者和大多数人都有这个想法。很多数学家，包括一些大师也有这个想法。所以勾股定理不仅是丈量土地有用，还是直角三角形的普遍规律，而三角形是自然界中的对象。

另有一些数学家，和不少学计算机的认为： 数学是逻辑的一部分，是公理系统。

这个观点在实践中还是非常流行的，并且的确非常强大。但是其中很多悖论经不住下面那个文艺数学的推敲。在这个观点下，数字和运算都是公理。

实际上，数学源自于古希腊语,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数，计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用，以及它们综合起来的努力，才构成了数学科学的生命力，可用性和它的崇高价值。