绝密启用前
201年普通高等学校招生全国统一考试
科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A.B.C.D.
2.若，则（）
A.B.C.D.3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
4.的展开式中的系数为
A.12B.16C.20D.24
5.已知各项均为正数的等比数列5，且（）
A.16B.8C.4D.2
6.已知曲线在处的切线方程为则
A.B.C.D.
7.函数在
8.如图点的心为正三角形，平面平面，是线段的中点，则
A.，且直线是相交直线
.，且直线是相交直线
.，且直线是直线
.，且直线是直线9.执行右边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于（）
A.B.C.D.
10.双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（）
A.B.C.D.
11.设是定义域为单调递减则
A.B.
C.D.
12.设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：在有且仅有个极大值点在有且仅有2个极小值点在单调递增的取值范围是.
其中所有正确结论的编号是
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
二填空题本题共5分共0分
13.已知为单位向量且，则_____________.
14.记为等差数列项和，若，，则_____________.
5.设为椭圆为上一点且在第一象限，若为等腰三角形则_____________.
16.学生到工厂劳动用打印技术制作模型如图该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体其中分别为所在棱的中点，，.打印所用的材料密度为不考虑打印损耗制作该模型所需原料的质量为_________.
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：
记为：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
18.（12分）
的内角的对边分别是，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
9.（12分
图1是由，和菱形组成的一个平面图形，其中，.将其沿折起使得与重合，如图.
（1）证明：图2中的四点共面，且平面平面
（2）求图2中的二面角的大小0.（12分
已知函数
（1）讨论的单调性
（2）是否存在，使得在区间且最大值为的所有值；若不存在，说明理由.
21.（12分
已知曲线为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.
（1）证明：直线过定点
（2）若以为圆心的圆与直线相切且切点为线段的中点的面积
（二）选考题：共10分请考生在2、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分
22.[选修4：坐标系与参数方程]0分
如图在极坐标系，，，，弧，，所在的圆的圆心分别是，，，曲线是，曲线是，曲线是.
（1）分别写出的极坐标方程；
（2）曲线由构成，若点在上，且，求的极坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
2019年普通高等学校招生全国统一考试
科数学参考答案一、选择题：1.【答案】A
【分析】先求出集合B再求出交集.
【详解】，∴，则，故选A．
【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2.【答案】D
【分析】根据复数运算法则求解即可.
【详解】．故选D．
【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．
3.【答案】C
【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
4.【答案】A
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
5.【答案】C
【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
6.【答案】D
【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：，将代入得，故选D．
【点睛】本题关键等到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系。
7.【答案】B
【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．
【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．
【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
8.【答案】B
【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】如图所示，作于，连接，过作于．
连，平面平面．
平面，平面，平面，
与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，
．，故选B．
【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性。
9.【答案】D
【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.
【详解】输入的为，不满足条件；
不满足条件；满足条件输出，故选D．
【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．
10.【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
11.【答案】C
【分析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，又在(0，+∞)单调递减，
∴，，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．12.【答案】D
【分析】本题三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查数形结合思想．
【详解】，在有且仅有5个零点．，，，④正确．如图为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个．②不正确．
当时，，当时，．
③正确，故选D．【点睛】极小值点个数动态，易错，③正确性考查需认真计算，易出错．
二、填空题13.【答案】.
【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】因为，，所以，
，所以，所以．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
14.【答案】4.
分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】因，所以，即，所以．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
15.【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
16.【答案】118．8
【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.
【详解】由题意得，，
四棱锥O?EFG的高3cm，∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，其质量为．
【点睛】本题考查几何体体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．
三、解答题
17.【分析】(1)由可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
18.【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.
【详解】(1)根据题意由正弦定理得，因为，故，消去得。
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，又由前问，，得到，故又应用正弦定理，，由三角形面积公式有.又因,故，故.
故的取值范围是
【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道很好的考题.19.【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证.
【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以
而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以.
而在中,，即二面角的度数为.
【点睛】很新颖的立体几何考题。首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的。再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法。最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力。
20.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.
【详解】(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为
即解得.
综上得或.
【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。
21.【分析】可用解析法和几何法证明。解析法可设A，B两点的坐标分别为，，然后求出A，B两点处的切线，两条切线交于直线之上，所以交点的纵坐标为
联立方程可解和的关系。之后用两点式求出直线方程，最后根据直线方程求出它所过的定点.(2)应用四边形面积公式，代入化简出关于和的对称式。然后分情况讨论求解。如果不知道四面下面积公式则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和，但会稍微麻烦一些。（此题若用向量积的概念则更为容易）
【详解】(1)证明：设A，B两点的坐标分别为，，因为，所以，
则切线DA为：---------①，切线DB为：--------②，
代入得，得，因为故消去得交点的纵坐标，
因为DA和DB的交点D为直线上的动点，所以有，，
直线AB为，点A，B在曲线上，则有，整理得，即.当，时无论,取何值时，此等式均成立。因此直线AB过定点，得证。
(2)设AB的中点为G，由题得G点坐标为，则，又.由题意知，即即.代入得整理得.
因，故.所以或.
由第一问中，为这里的为D点坐标,然而,故
，所以，又因为.所以。即D坐标为.
那么,.
设为与的夹角，那么有
代入进行化简有
若，则.
若，则,
代入有.
所以四边形ADBE的面积为3或.
【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小。
22.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.
(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.
【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
,.
(2)解方程得，此时P的极坐标为
解方程得或，此时P的极坐标为或
解方程得，此时P的极坐标为
故P的极坐标为,,,.
【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.
23.【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.
【详解】(1)故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立所以的最小值为.
(2)因为，所以.
根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.
所以成立，所以有或.
另解：用反证法.
若或不成立，那么成立，则而左面等号成立当且仅当，又因为所以.故此时,即，与原命题矛盾【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.
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